WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 標題：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文標題：具有指數照明數的常寬凸體
• 發佈日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分類：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常寬凸體，其照明數至少為$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一個問題。此外，我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直徑為$1$的有限集合，它們不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$個直徑為$1$的球覆蓋，這改進了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一個結果。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何證明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明數的常寬凸體？
• 如何改進 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的結果，證明有限直徑集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 個直徑為 1 的球所覆蓋？
• 如何構造具有足夠「分離」方向的點集 X，以保證直徑 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法證明存在滿足特定條件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每個點最多被 O(n log n) 個球 C(x, φ) 覆蓋？

背景介紹

這篇論文的研究背景主要集中在以下幾個方面：

1. 凸體的照明數問題：
   • 凸體的照明數是衡量凸體幾何特性的一個重要參數，它與凸體的覆蓋和分割問題緊密相關。
   • 照明數的概念最早由O. Schramm提出，他證明了凸體照明數的一個上界，但是否存在滿足特定下界的凸體一直是一個未解決的問題。
   • G. Kalai在其研究中提出了關於照明數的猜想，即是否存在照明數至少為(1+ε)^n的常寬凸體，其中ε>0。
2. 常寬凸體的幾何特性：
   • 常寬凸體是指任意兩個平行支撐超平面之間的距離恆定的凸體，這類凸體在幾何學中具有獨特的性質和應用。
   • 常寬凸體的照明數問題與Borsuk猜想有關，Borsuk猜想是組合幾何中的一個重要問題，涉及將凸體分割成直徑較小的部分。
   • 研究常寬凸體的照明數有助於理解凸體的幾何結構和性質，以及在組合幾何中的應用。
3. 球面覆蓋問題：
   • 球面覆蓋問題涉及到如何用相同直徑的球體覆蓋一個給定的凸體或有限點集，這與凸體的照明數問題有直接聯繫。
   • J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆蓋一個有限點集至少需要1.0645^n個直徑為1的球體，而本研究進一步改進了這一結果。
   • 球面覆蓋問題的研究有助於理解凸體的幾何結構和優化覆蓋策略。

綜上所述，這篇論文的研究背景強調了凸體照明數問題的重要性，以及它與常寬凸體的幾何特性和球面覆蓋問題的聯繫，這些問題在組合幾何和凸體幾何中具有重要的理論和應用價值。