WikiEdge:ArXiv-2304.10418
- 標題：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
- 中文標題：具有指數照明數的常寬凸體
- 發布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
- 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
- 分類：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
- 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3
摘要：我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常寬凸體，其照明數至少為$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一個問題。此外，我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直徑為$1$的有限集合，它們不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$個直徑為$1$的球覆蓋，這改進了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一個結果。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何證明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明數的常寬凸體？
- 如何改進 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的結果，證明有限直徑集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 個直徑為 1 的球所覆蓋？
- 如何構造具有足夠「分離」方向的點集 X，以保證直徑 W(X) ≤ 2 cos α？
- 如何利用概率方法證明存在滿足特定條件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每個點最多被 O(n log n) 個球 C(x, φ) 覆蓋？
背景介紹
這篇論文的研究背景主要集中在以下幾個方面：
- 凸體的照明數問題：
- 常寬凸體的幾何特性：
- 球面覆蓋問題：
- 球面覆蓋問題涉及到如何用相同直徑的球體覆蓋一個給定的凸體或有限點集，這與凸體的照明數問題有直接聯繫。
- J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆蓋一個有限點集至少需要1.0645^n個直徑為1的球體，而本研究進一步改進了這一結果。
- 球面覆蓋問題的研究有助於理解凸體的幾何結構和優化覆蓋策略。
綜上所述，這篇論文的研究背景強調了凸體照明數問題的重要性，以及它與常寬凸體的幾何特性和球面覆蓋問題的聯繫，這些問題在組合幾何和凸體幾何中具有重要的理論和應用價值。
章節摘要
這篇論文是關於在高維歐幾里得空間中具有恆定寬度的凸體的照明數的研究，主要內容包括：
- 引言：
- 定義了凸體、照明數等基本概念，並介紹了問題的背景。
- 提出了主要問題：是否存在具有恆定寬度的凸體，其照明數至少為(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
- 引用了O. Schramm的工作，證明了照明數的上界。
- 通過構造特定的凸體，回答了G. Kalai提出的問題。
- 主要定理和引理：
- 幾何論證：
- 通過幾何觀察和論證，證明了主要定理。
- 詳細分析了凸體的直徑、照明方向與點集之間的關係。
- 概率論證：
- 使用概率方法證明了引理2，構造了滿足特定條件的點集。
- 討論了點集在球面上的分布和覆蓋問題。
- 結論：
- 證明了主要定理，即存在凸體的照明數至少為(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
- 提出了一個改進的結果（Theorem 2），關於用相同直徑的球覆蓋有限點集的問題。
- 討論了這些結果與Borsuk猜想的關係，並提出了未來的研究方向。