WikiEdge:ArXiv-2304.10418
- 标题：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
- 中文标题：具有指数照明数的常宽凸体
- 发布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
- 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
- 分类：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3
摘要：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。
问题与动机
作者的研究问题包括：
- 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽凸体？
- 如何改进 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的球所覆盖？
- 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
- 如何利用概率方法证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？
背景介绍
这篇论文的研究背景主要集中在以下几个方面：
- 凸体的照明数问题：
- 常宽凸体的几何特性：
- 球面覆盖问题：
- 球面覆盖问题涉及到如何用相同直径的球体覆盖一个给定的凸体或有限点集，这与凸体的照明数问题有直接联系。
- J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆盖一个有限点集至少需要1.0645^n个直径为1的球体，而本研究进一步改进了这一结果。
- 球面覆盖问题的研究有助于理解凸体的几何结构和优化覆盖策略。
综上所述，这篇论文的研究背景强调了凸体照明数问题的重要性，以及它与常宽凸体的几何特性和球面覆盖问题的联系，这些问题在组合几何和凸体几何中具有重要的理论和应用价值。
章节摘要
这篇论文是关于在高维欧几里得空间中具有恒定宽度的凸体的照明数的研究，主要内容包括：
- 引言：
- 定义了凸体、照明数等基本概念，并介绍了问题的背景。
- 提出了主要问题：是否存在具有恒定宽度的凸体，其照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
- 引用了O. Schramm的工作，证明了照明数的上界。
- 通过构造特定的凸体，回答了G. Kalai提出的问题。
- 主要定理和引理：
- 几何论证：
- 通过几何观察和论证，证明了主要定理。
- 详细分析了凸体的直径、照明方向与点集之间的关系。
- 概率论证：
- 使用概率方法证明了引理2，构造了满足特定条件的点集。
- 讨论了点集在球面上的分布和覆盖问题。
- 结论：
- 证明了主要定理，即存在凸体的照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
- 提出了一个改进的结果（Theorem 2），关于用相同直径的球覆盖有限点集的问题。
- 讨论了这些结果与Borsuk猜想的关系，并提出了未来的研究方向。
研究方法
这篇论文通过几何观察和概率分析，研究了具有恒定宽度的凸体的照明数。以下是该研究方法论的主要组成部分：
- 几何观察：
- 概率分析：
- 使用概率方法构造了满足特定角度分离条件的点集。
- 证明了存在足够大的点集，使得任意两点之间的球面距离满足特定的不等式。
- 利用概率引理来保证凸体的边界点不能被少数方向同时照亮。
- 凸体构造：
- 利用已知的凸体包含性质，构造了具有恒定宽度的凸体。
- 通过选择适当的点集，确保了凸体的直径满足特定的条件。
- 证明了对于任意给定的n，都存在满足照明数下界的凸体。
- 覆盖问题：
- 将凸体的照明问题转化为覆盖问题，研究了用相同直径的球覆盖有限点集的最小数量。
- 利用概率引理改进了之前关于覆盖问题的结果。
- 证明了对于任意给定的n，存在不能被较少数量的球覆盖的点集。
- 综合分析：
- 结合几何观察和概率分析的结果，证明了凸体的照明数可以非常接近于某个指数函数的倒数。
- 讨论了这些结果对于理解凸体的几何特性和解决相关的组合几何问题的意义。
这篇论文的方法论分析结果表明，通过几何和概率方法可以有效地研究凸体的照明数，并且可以构造出具有特定照明性质的凸体。