WikiEdge:ArXiv-2004.10865
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- 标题：Body of constant width with minimal area in a given annulus
- 中文标题：在给定环形中具有最小面积的常宽体
- 发布日期：2020-04-22 21:11:34+00:00
- 作者：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
- 分类：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
- 原文链接：arXiv链接
摘要：在本文中，我们解决了以下形状优化问题：在预设定的常宽度和内半径的集合中，寻找面积最小的平面域。在文献中，这个问题被归因于Bonnesen，他在文献{BF}中提出了这个问题。在当前的工作中，我们为每一个宽度和内半径的选择提供了问题的完整答案，给出了最优集合的明确特征。这些最优集合是特定的Reuleaux多边形。
问题与动机
作者的研究问题包括：
- 如何在给定的圆环中找到具有最小面积的等宽体？
- 对于不同的宽度和内半径选择，最优集合的显式特征是什么？
- 如何证明Bonnesen关于在给定圆环中最小化面积的猜想？
- Reuleaux多边形在等宽体中最小化面积问题中的作用是什么？
- 如何描述具有给定内半径的等宽体的最优形状？
- 如何证明关于等宽体最小面积问题的猜想，并提供更精确的结果？
背景介绍
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
- 常宽体的几何特性：
- 常宽体（也称作欧拉体或Reuleaux体)是一类在每个方向上具有相同宽度的几何形状，这类形状在数学和工程学中具有重要的应用。
- 这类形状因其独特的几何性质，如在给定宽度下最小化面积的问题，而受到广泛关注。
- 面积最小化问题的历史：
- 历史上，Blaschke-Lebesgue定理是关于常宽体中面积最小化问题的一个著名结果，它表明Reuleaux三角形在所有常宽体中具有最小的面积。
- 该问题由Bonnesen提出，并在文献[3]中进行了讨论，但之前没有给出完整的解答。
- 给定内半径和宽度的优化问题：
- 本文研究了在给定内半径和宽度的条件下，寻找具有最小面积的平面域的问题。
- 这个问题在数学优化和几何分析中具有挑战性，因为它涉及到在特定约束条件下寻找最优几何形状。
- Reuleaux多边形的特性：
- Reuleaux多边形是一类特殊的常宽体，其边界由圆形弧段组成，这些弧段的中心位于边界点。
- 这类多边形在解决最小化问题时具有特殊的重要性，因为它们在满足给定宽度和内半径的条件下，可能形成最优解。
综上所述，这篇文献的背景强调了在给定几何约束下，寻找具有最小面积的常宽体的数学问题，以及这类问题在理论和应用中的重要性。
章节摘要
这篇论文是关于在给定的圆环内寻找具有最小面积的等宽体的研究，主要内容包括：
- 引言：
- 等宽体（也称为欧拉体)是一类有趣的几何对象，有许多文献专门研究它们。
- 著名的Blaschke-Lebesgue定理表明，在所有等宽体中，Reuleaux三角形的面积最小。
- 作者提出了一个与等宽体相关的优化问题：在给定的圆环内，寻找具有规定等宽和内半径的平面域，使其面积最小。
- 预备知识与Blaschke变形：
- 定义了凸体、等宽和内半径的概念，并证明了最小化问题的存在性。
- 回顾了Reuleaux多边形的定义，并介绍了Blaschke变形的概念。
- 刚性形状：
- 引入了刚性形状的概念，即不能通过Blaschke变形减小面积的形状。
- 定义了极值弧和簇的概念，并给出了刚性形状的特征。
- 证明定理1.2和命题1.4：
- 证明了在Reuleaux多边形类中面积最小化问题有解，并描述了最优形状。
- 证明了当内半径r在特定区间内变化时，最小面积A(r)是连续的，并且最优形状也随之连续变化。
研究方法
这篇论文通过