WikiEdge:ArXiv-2004.10865
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- 標題：Body of constant width with minimal area in a given annulus
- 中文標題：在給定環形中具有最小面積的常寬體
- 發布日期：2020-04-22 21:11:34+00:00
- 作者：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
- 分類：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
- 原文連結：arXiv連結
摘要：在本文中，我們解決了以下形狀優化問題：在預設定的常寬度和內半徑的集合中，尋找面積最小的平面域。在文獻中，這個問題被歸因於Bonnesen，他在文獻{BF}中提出了這個問題。在當前的工作中，我們為每一個寬度和內半徑的選擇提供了問題的完整答案，給出了最優集合的明確特徵。這些最優集合是特定的Reuleaux多邊形。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何在給定的圓環中找到具有最小面積的等寬體？
- 對於不同的寬度和內半徑選擇，最優集合的顯式特徵是什麼？
- 如何證明Bonnesen關於在給定圓環中最小化面積的猜想？
- Reuleaux多邊形在等寬體中最小化面積問題中的作用是什麼？
- 如何描述具有給定內半徑的等寬體的最優形狀？
- 如何證明關於等寬體最小面積問題的猜想，並提供更精確的結果？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體的幾何特性：
- 常寬體（也稱作歐拉體或Reuleaux體)是一類在每個方向上具有相同寬度的幾何形狀，這類形狀在數學和工程學中具有重要的應用。
- 這類形狀因其獨特的幾何性質，如在給定寬度下最小化面積的問題，而受到廣泛關注。
- 面積最小化問題的歷史：
- 歷史上，Blaschke-Lebesgue定理是關於常寬體中面積最小化問題的一個著名結果，它表明Reuleaux三角形在所有常寬體中具有最小的面積。
- 該問題由Bonnesen提出，並在文獻[3]中進行了討論，但之前沒有給出完整的解答。
- 給定內半徑和寬度的優化問題：
- 本文研究了在給定內半徑和寬度的條件下，尋找具有最小面積的平面域的問題。
- 這個問題在數學優化和幾何分析中具有挑戰性，因為它涉及到在特定約束條件下尋找最優幾何形狀。
- Reuleaux多邊形的特性：
- Reuleaux多邊形是一類特殊的常寬體，其邊界由圓形弧段組成，這些弧段的中心位於邊界點。
- 這類多邊形在解決最小化問題時具有特殊的重要性，因為它們在滿足給定寬度和內半徑的條件下，可能形成最優解。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在給定幾何約束下，尋找具有最小面積的常寬體的數學問題，以及這類問題在理論和應用中的重要性。
章節摘要
這篇論文是關於在給定的圓環內尋找具有最小面積的等寬體的研究，主要內容包括：
- 引言：
- 等寬體（也稱為歐拉體)是一類有趣的幾何對象，有許多文獻專門研究它們。
- 著名的Blaschke-Lebesgue定理表明，在所有等寬體中，Reuleaux三角形的面積最小。
- 作者提出了一個與等寬體相關的優化問題：在給定的圓環內，尋找具有規定等寬和內半徑的平面域，使其面積最小。
- 預備知識與Blaschke變形：
- 定義了凸體、等寬和內半徑的概念，並證明了最小化問題的存在性。
- 回顧了Reuleaux多邊形的定義，並介紹了Blaschke變形的概念。
- 剛性形狀：
- 引入了剛性形狀的概念，即不能通過Blaschke變形減小面積的形狀。
- 定義了極值弧和簇的概念，並給出了剛性形狀的特徵。
- 證明定理1.2和命題1.4：
- 證明了在Reuleaux多邊形類中面積最小化問題有解，並描述了最優形狀。
- 證明了當內半徑r在特定區間內變化時，最小面積A(r)是連續的，並且最優形狀也隨之連續變化。
研究方法
這篇論文通過