WikiEdge:ArXiv-2004.10865

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  • 标题：Body of constant width with minimal area in a given annulus
  • 中文标题：在给定环形中具有最小面积的常宽体
  • 发布日期：2020-04-22 21:11:34+00:00
  • 作者：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
  • 分类：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/2004.10865v2

摘要：在本文中，我们解决了以下形状优化问题：在预设定的常宽度和内半径的集合中，寻找面积最小的平面域。在文献中，这个问题被归因于Bonnesen，他在文献{BF}中提出了这个问题。在当前的工作中，我们为每一个宽度和内半径的选择提供了问题的完整答案，给出了最优集合的明确特征。这些最优集合是特定的Reuleaux多边形。

问题与动机

作者的研究问题包括：

  • 如何在给定的圆环中找到具有最小面积的等宽体？
  • 对于不同的宽度和内半径选择，最优集合的显式特征是什么？
  • 如何证明Bonnesen关于在给定圆环中最小化面积的猜想？
  • Reuleaux多边形在等宽体中最小化面积问题中的作用是什么？
  • 如何描述具有给定内半径的等宽体的最优形状？
  • 如何证明关于等宽体最小面积问题的猜想，并提供更精确的结果？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

  1. 常宽体的几何特性：
  2. 面积最小化问题的历史：
    • 历史上，Blaschke-Lebesgue定理是关于常宽体中面积最小化问题的一个著名结果，它表明Reuleaux三角形在所有常宽体中具有最小的面积。
    • 该问题由Bonnesen提出，并在文献[3]中进行了讨论，但之前没有给出完整的解答。
  3. 给定内半径和宽度的优化问题：
    • 本文研究了在给定内半径和宽度的条件下，寻找具有最小面积的平面域的问题。
    • 这个问题在数学优化和几何分析中具有挑战性，因为它涉及到在特定约束条件下寻找最优几何形状。
  4. Reuleaux多边形的特性：
    • Reuleaux多边形是一类特殊的常宽体，其边界由圆形弧段组成，这些弧段的中心位于边界点。
    • 这类多边形在解决最小化问题时具有特殊的重要性，因为它们在满足给定宽度和内半径的条件下，可能形成最优解。
  5. 引言：
  6. 预备知识与Blaschke变形：
    • 定义了凸体、等宽和内半径的概念，并证明了最小化问题的存在性。
    • 回顾了Reuleaux多边形的定义，并介绍了Blaschke变形的概念。
  7. 刚性形状：
    • 引入了刚性形状的概念，即不能通过Blaschke变形减小面积的形状。
    • 定义了极值弧和簇的概念，并给出了刚性形状的特征。
  8. 证明定理1.2和命题1.4：
    • 证明了在Reuleaux多边形类中面积最小化问题有解，并描述了最优形状。
    • 证明了当内半径r在特定区间内变化时，最小面积A(r)是连续的，并且最优形状也随之连续变化。

研究方法

这篇论文通过数学建模和优化方法，解决了在给定圆环中寻找具有最小面积的常宽体的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

  1. 数学建模：
    • 定义了凸体、宽度、内半径等几何概念，并引入了Reuleaux多边形的数学描述。
    • 引入了Blaschke变形的概念，这是一种在保持凸体常宽性质不变的条件下，连续改变凸体形状的方法。
    • 定义了“刚性形状”，即不能通过Blaschke变形减小面积的Reuleaux多边形。
  2. 优化方法：
    • 利用Blaschke变形的性质，提出了寻找最小面积凸体的优化策略。
    • 通过分析Reuleaux多边形的变形，建立了面积的一阶形状导数，用于指导优化过程。
    • 证明了在给定的圆环中，最小面积的常宽体可以通过一系列特定的Reuleaux多边形来逼近。
    • 利用了变分法中的直接方法，证明了最小化问题的解的存在性。
  3. 几何分析：
    • 详细分析了Reuleaux多边形的几何特性，包括边界弧长、角度等。
    • 利用三角函数和几何关系，推导出了描述Reuleaux多边形边界弧长的公式。
    • 通过几何构造和角度分析，确定了刚性形状的参数化表示。
  4. 连续性和最优性证明：
    • 证明了当内半径r在特定区间变化时，最小面积函数A(r)是连续的。
    • 利用刚性形状的性质，证明了在给定圆环中最小化面积问题的解是唯一的。
    • 通过分析Reuleaux多边形的连续变形，证明了最优形状随内半径r连续变化。

这篇论文的方法论分析结果表明，对于给定的圆环，存在一个唯一的最小面积常宽体，该常宽体可以由一系列特定的Reuleaux多边形精确描述，并且随着内半径的变化，最优形状连续变化。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

  1. 问题的完整解答：对于在给定圆环中寻找具有规定常宽和内半径的平面域的最小面积问题，作者给出了一个完整的答案，明确描述了对于所有宽度和内半径选择的最优集合。
  2. 最优集合的确定：这些最优集合是特定的Reuleaux多边形。
  3. 常宽体的性质：论文中提到，常宽体（也称为欧拉体)是迷人的几何对象，尽管它们的定义简单，但许多相关问题仍未解决。
  4. Blaschke-Lebesgue定理：著名的Blaschke-Lebesgue定理断言，Reuleaux三角形在所有常宽平面体中面积最小。
  5. 最小化问题的解决：作者解决了T. Bonnesen提出的最小化问题，并证实了他的猜想，使得结果更加精确。
  6. Reuleaux多边形的构造：作者构造了Reuleaux多边形，作为解决最小化问题的关键，证明了这些多边形在给定的最小圆环中面积最小。
  7. 问题的双重性：论文还指出了问题的双重性：一方面，它回答了Bonnesen的问题；另一方面，它提供了一个根据几何量来界定面积下界的方法，这可能在其他形状优化问题中有用。
  8. 连续性的证明：论文证明了当内半径r变化时，最小面积A(r)和最优Reuleaux多边形Ω(r)关于r是连续的。

术语表

这篇文章的术语表如下：

  • 常宽体（Body of constant width）：在平面几何中，常宽体是指在所有方向上具有相同宽度的几何形状。
  • 勒洛多边形（Reuleaux polygon）：勒洛多边形是一种特殊的常宽体，其边界由有限数量的圆形弧段组成，这些弧段的中心位于边界点上。
  • 内半径（Inradius）：一个几何形状内半径是指能够完全包含在该形状内的最大圆的半径。
  • 外半径（Circumradius）：与内半径相对，外半径是指能够刚好包围该形状的最小圆的半径。
  • 等宽约束（Constant width constraint）：指在优化问题中，要求解的形状必须具有恒定的宽度。
  • 面积最小化（Area minimization）：在给定约束条件下，寻找具有最小面积的几何形状的过程。
  • 勒洛三角形（Reuleaux triangle）：一种特殊的勒洛多边形，由三个弧段组成，是具有最小内半径的常宽体。
  • 极值问题（Extremal problem）：在数学优化中，寻找函数的最大值或最小值的问题。
  • 刚性形状（Rigid shape）：在文中定义为不能通过任何保持内半径约束的布拉斯奇变形来减小面积的勒洛多边形。
  • 布拉斯奇变形（Blaschke deformation）：一种对勒洛多边形进行变形的方法，通过移动弧段的端点来改变形状。
  • 外圆（Outercircle）：包围一个几何形状的最小圆。
  • 内圆（Incircle）：完全包含在几何形状内的最大圆。
  • 宽度（Width）：在特定方向上，一个几何形状所能占据的最小距离。
  • 等宽体（Orbiforms）：以常宽体命名的几何对象，由欧拉（L. Euler）提出。
  • 勒洛五边形（Reuleaux pentagon）：一种勒洛多边形，由五个弧段组成。
  • 刚性配置（Rigid configuration）：指在文中定义的，不能通过任何布拉斯奇变形减小面积的勒洛多边形配置。
  • 弧段（Arc）：勒洛多边形边界的一部分，由圆的一段组成。
  • 极值弧（Extremal arc）：在勒洛多边形中，与内圆相切且其端点都在外圆上的弧段。
  • 簇（Cluster）：由三个连续的弧段组成的一组弧段，其中两个端点弧段与内圆相切，且它们的共同端点位于环形区域内部。
  • 特征参数（Characteristic parameter）：在文中用于描述簇的参数，是半角Pk+1 OPk−1的角度。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

  • A.S. Besicovitch (1963). Minimum area of a set of constant width, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII pp. 13–14 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.
    • 提供了关于常宽体最小面积问题的早期研究，为本文提供了理论基础。
  • W. Blaschke (1915). Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts, Math. Ann. 76, no. 4, 504–513.
    • Blaschke-Lebesgue 定理的原始论文，为本文提供了核心理论支持。
  • T. Bonnesen, W. Fenchel (1974). Theorie der konvexen K¨orper, (German) Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin-New York.
    • 作为凸体理论的经典著作，为本文提供了重要的理论背景和参考。
  • H. B¨uckner (1936). ¨Uber Fl¨achen von fester Breite, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 46, 96–139.
    • 探讨了固定宽度的表面，为本文提供了相关的数学分析方法。
  • G.D.Chakerian, H. Groemer (1983). Convex bodies of constant width. Convexity and its applications, 49–96, Birkh¨auser, Basel.
    • 详细讨论了常宽凸体的性质，为本文的研究提供了重要的理论支持。
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