WikiEdge:ArXiv-2304.04035

• 標題：The density of Meissner polyhedra
• 中文標題：Meissner多面體的密度
• 發佈日期：2023-04-08 15:07:22+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分類：math.MG
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2

摘要：我們考慮在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面體。這些是常寬體，其邊界由球面和紡錘形環面的部分組成。我們通過取同心球的適當交集來定義這些形狀，並顯示它們在Hausdorff拓撲中是常寬體空間的稠密集。這個密度斷言基本上是由Sallee證明的。然而，我們提供了一個現代的觀點，考慮到最近對球多面體的理解和基於這些形狀構造常寬體的進展。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• Meissner多面體在三維空間中的密度是怎樣的？
• 如何證明Meissner多面體在常寬體空間中是密集的？
• Meissner多面體的體積如何計算？
• 如何使用數學軟件繪製Meissner多面體的圖形？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. Meissner多面體的密度研究：
   • Meissner多面體是三維空間中具有恆寬性質的幾何體，它們的邊界由球面和紡錘形環面的片段組成。
   • 這些幾何體可以通過適當地相交相同的球體來定義，並且它們在恆寬體的空間中是密集的。
   • 先前的研究由Sallee等人進行，他們證明了某些恆寬體類也是密集的，但與Meissner多面體之間的關係尚不清楚。
   • 本文旨在通過現代視角，結合球體多面體的理解進展和基於這些形狀構建恆寬體的新方法，來探討Meissner多面體的密集性。
2. Reuleaux多面體與球體多面體的聯繫：
   • Reuleaux多面體是一類特殊的球體多面體，包括Reuleaux四面體，它們是Meissner四面體的構建基礎。
   • 球體多面體是由有限集合的點在三維空間中定義的幾何體，這些點的直徑之和不超過1。
   • 本文將探討Reuleaux多面體的構建，以及它們如何作為Meissner多面體的近似。
3. 恆寬體的幾何特性：
   • 恆寬體是具有恆定寬度的幾何體，即對於任意一對平行的支持平面，它們之間的距離是恆定的。
   • 這類幾何體在數學和工程學中具有重要的應用，例如在機械設計和機械人路徑規劃中。
   • 本文將討論Meissner多面體是否具有恆寬性質，並探索其幾何特性。
4. 數學理論的應用與進展：
   • 本文將使用Hausdorff距離來衡量凸體之間的差異，並探討Meissner多面體在恆寬體空間中的密集性。
   • 通過數學建模和計算，本文提供了對Meissner多面體體積的計算方法，以及如何使用Mathematica繪製這些幾何體。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了Meissner多面體在恆寬體研究中的重要性，探討了它們的性質、構建方法以及在現代幾何學中的應用。

章節摘要

這篇論文是關於Meissner多面體在三維空間中的密度研究，主要內容包括：

1. 引言：介紹了常寬體的概念，即具有恆定寬度的凸體，以及Meissner多面體的定義和性質。常寬體是一類特殊的凸體，其所有平行支撐平面之間的距離相等。文中通過球體的交集來構造Meissner多面體，並探討了它們在常寬體空間中的密集性。
2. 紡錘體：詳細討論了紡錘體的幾何特性，包括定義、不等式以及與常寬體的關係。紡錘體是一類由兩個點確定的凸體，其邊界由球體和紡錘面組成。文中還探討了紡錘凸性的概念，以及如何通過紡錘凸性來描述常寬體。
3. Reuleaux多面體：研究了Reuleaux多面體，這是一類特殊的球體多面體，包括Reuleaux四面體。文中討論了球體多面體的構建，Vázsonyi問題，以及通過球體多面體構造常寬體的方法。
4. Meissner多面體：定義了Meissner多面體，並探討了它們的性質，包括常寬性質。文中通過在Reuleaux四面體的基礎上進行幾何變換來構造Meissner四面體，並證明了這些形狀具有常寬性質。
5. 密度定理：證明了Meissner多面體在常寬體空間中的密集性。文中首先通過近似方法找到一個與給定常寬體接近的球體多面體，然後通過構造Meissner多面體來進一步逼近給定的常寬體。
6. 附錄：
   • Meissner四面體的體積：計算了兩種類型的Meissner四面體的體積，使用了Gauss-Bonnet公式和球體多面體的周長計算。
   • 繪圖：描述了如何使用Mathematica軟件繪製Reuleaux和Meissner四面體。

研究方法

這篇論文通過綜合分析幾何構造、拓撲學和計算幾何方法，探討了Meissner多面體在三維空間中的密度特性。以下是該研究方法論的主要組成部分：

1. 幾何構造：
   • 利用球體和紡錘體的交集定義Meissner多面體，展示了這些形狀如何通過適當的球體交集形成。
   • 通過球體的交集和邊界操作（如紡錘體替換）構造Reuleaux多面體和Meissner四面體。
   • 引入楔形和紡錘體的概念，用於描述和分析Reuleaux多面體的邊緣和表面。
2. 拓撲學分析：
   • 研究了Reuleaux多面體的邊界和頂點的拓撲特性，以及這些特性如何影響Meissner多面體的結構。
   • 利用Hausdorff距離定義和分析了常寬體空間中的密集性。
   • 證明了Meissner多面體在常寬體空間中的密集性定理。
3. 計算幾何方法：
   • 使用計算幾何技術（如Minkowski和）來近似和計算常寬體。
   • 利用球體和紡錘體的體積和表面積公式計算Meissner四面體的幾何特性。
   • 通過Mathematica軟件繪製和驗證幾何構造和定理。
4. 綜合分析：
   • 結合幾何構造、拓撲學和計算幾何的結果，證明了Meissner多面體可以逼近任何三維常寬體。
   • 討論了Meissner多面體在常寬體空間中的代表性和應用潛力。

這篇論文的方法論分析結果表明，Meissner多面體不僅在理論上具有重要意義，而且在實際應用中，如機械工程和建築設計中，也具有潛在的使用價值。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

1. Meissner多面體的密度：在三維空間中，Meissner多面體是具有恆定寬度的物體，其邊界由球面和紡錘形環面的部分組成。這些形狀可以通過適當地相交相同的球體來定義，並證明了它們在恆定寬度物體的空間中是密集的。
2. Reuleaux多面體：Reuleaux多面體是一類球體多面體，包括Reuleaux四面體。這些是構建Meissner四面體的基礎，並且是Meissner多面體的構建模塊。
3. 紡錘體和紡錘凸性：紡錘體凸性的概念有助於描述球體多面體和恆定寬度形狀的一些基本屬性。
4. Meissner四面體的體積計算：計算了Meissner四面體的體積，並且展示了如何使用Mathematica繪製這些圖形。
5. Meissner多面體的恆寬性質：證明了每個Meissner多面體都具有恆寬性質，即從多面體的任何一點到其邊界的最短距離是常數。
6. Meissner多面體的密集性定理：假設K是三維空間中的一個恆寬物體，對於任何ε > 0，都存在一個Meissner多面體M，使得K和M之間的Hausdorff距離小於或等於ε。

這些結論為理解三維空間中恆寬物體的幾何特性提供了重要的理論基礎，並指出了Meissner多面體在這些物體中所佔的重要地位。

術語表

這篇文章的術語表如下：

• Meissner polyhedra（Meissner多面體）：在三維空間中，由適當相交的相同球體定義的形狀，邊界由球面和紡錘形環面的部分組成。
• constant width bodies（等寬體）：在三維空間中，具有恆定寬度的物體，其對任何方向的平行支撐平面之間的距離都是恆定的。
• spindles（紡錘體）：由兩個點確定的，包含這兩個點的所有半徑為1的閉球的交集。
• spindle convexity（紡錘凸性）：如果對於任意兩點x, y，紡錘體Sp(x, y)都在集合K中，則稱K是紡錘凸的。
• Reuleaux polyhedra（Reuleaux多面體）：通過相交半徑為1的球體形成的多面體，包括Reuleaux四面體。
• V´azsonyi problem（V´azsonyi問題）：確定在直徑為1的有限點集中，有多少對點之間的距離恰好為1。
• ball polyhedra（球多面體）：由有限非空點集X定義的幾何形狀，其中X的直徑不超過1。
• extremal set（極值集）：在直徑為1的有限點集中，具有最大數量直徑對的集合。
• dual edge pairs（對偶邊對）：在Reuleaux多面體中，如果X是極值集，則其邊界上的邊自然成對。
• Euler formula（歐拉公式）：對於緊緻的、連通的、有界的多面體，其頂點數V減去邊數E加上面數F等於2。
• Hausdorff distance（豪斯多夫距離）：兩個凸體之間的距離，定義為最小的非負實數r，使得一個凸體包含在另一個凸體加上半徑為r的閉球內。
• geodesic convex（測地線凸）：在球面上，如果一個集合包含連接其內任意兩點的所有最短路徑，則稱該集合是測地線凸的。
• supporting sphere（支撐球）：如果一個球的邊界通過凸體K上的點x，並且K完全位於球的一側，則稱該球為K在x處的支撐球。
• constant width（等寬）：如果一個凸體的直徑為1，則稱該凸體具有等寬。
• Reuleaux tetrahedron（Reuleaux四面體）：通過四個半徑為1的球體相交形成的四面體。
• Meissner tetrahedra（Meissner四面體）：通過在Reuleaux四面體的邊界上進行手術操作得到的具有等寬性質的四面體。
• spindle torus（紡錘環面）：通過旋轉一條與旋轉軸相交的圓生成的旋轉曲面。
• short arcs（短弧）：在圓中連接兩點的兩條可能的圓弧中較短的那一條。
• cylindrically symmetric（圓柱對稱）：如果一個集合關於通過兩點的直線具有對稱性，則稱該集合是圓柱對稱的。
• spherically convex（球面凸）：如果一個集合在球面上的任意兩點間的最短路徑（大圓弧）完全包含在該集合內，則稱該集合是球面凸的。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

• Bezdek, K., Langi, Z., Naszódi, M., & Papez, P. (2007). Ball-polyhedra. Discrete Comput. Geom., 38(2), 201–230.
  • 提供了球多面體的定義和性質，為本文中討論的Meissner多面體提供了理論基礎。

• Eggleston, H. G. (1965). Sets of constant width in finite dimensional Banach spaces. Israel J. Math., 3, 163–172.
  • 討論了常寬集在有限維Banach空間中的性質，為本文中常寬體的討論提供了背景。

• Gruenbaum, B. (1956). A proof of Vazonyi’s conjecture. Bull. Res. Council Israel. Sect. A, 6, 77–78.
  • 提供了Vazonyi猜想的證明，該猜想與本文中討論的球多面體的某些特性相關。

• Harbourne, B. (n.d.). Volume and surface area of the spherical tetrahedron (aka reuleaux tetrahedron) by geometrical methods. Retrieved from https://www.math.unl.edu/~bharbourne1/ST/sphericaltetrahedron.html.
  • 通過幾何方法計算了球四面體的體積和表面積，為本文中體積計算提供了參考。

• Jessen, B. (1929). Über konvexe Punktmengen konstanter Breite. Math. Z., 29(1), 378–380.
  • 研究了常寬凸點集，為本文中常寬體的討論提供了早期的理論支持。