WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 標題：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文標題：具有指數照明數的常寬凸體
• 發布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分類：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常寬凸體，其照明數至少為$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一個問題。此外，我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直徑為$1$的有限集合，它們不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$個直徑為$1$的球覆蓋，這改進了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一個結果。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何證明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明數的常寬凸體？
• 如何改進 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的結果，證明有限直徑集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 個直徑為 1 的球所覆蓋？
• 如何構造具有足夠「分離」方向的點集 X，以保證直徑 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法證明存在滿足特定條件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每個點最多被 O(n log n) 個球 C(x, φ) 覆蓋？

背景介紹

這篇論文的研究背景主要集中在以下幾個方面：

1. 凸體的照明數問題：
   • 凸體的照明數是衡量凸體幾何特性的一個重要參數，它與凸體的覆蓋和分割問題緊密相關。
   • 照明數的概念最早由O. Schramm提出，他證明了凸體照明數的一個上界，但是否存在滿足特定下界的凸體一直是一個未解決的問題。
   • G. Kalai在其研究中提出了關於照明數的猜想，即是否存在照明數至少為(1+ε)^n的常寬凸體，其中ε>0。
2. 常寬凸體的幾何特性：
   • 常寬凸體是指任意兩個平行支撐超平面之間的距離恆定的凸體，這類凸體在幾何學中具有獨特的性質和應用。
   • 常寬凸體的照明數問題與Borsuk猜想有關，Borsuk猜想是組合幾何中的一個重要問題，涉及將凸體分割成直徑較小的部分。
   • 研究常寬凸體的照明數有助於理解凸體的幾何結構和性質，以及在組合幾何中的應用。
3. 球面覆蓋問題：
   • 球面覆蓋問題涉及到如何用相同直徑的球體覆蓋一個給定的凸體或有限點集，這與凸體的照明數問題有直接聯繫。
   • J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆蓋一個有限點集至少需要1.0645^n個直徑為1的球體，而本研究進一步改進了這一結果。
   • 球面覆蓋問題的研究有助於理解凸體的幾何結構和優化覆蓋策略。

綜上所述，這篇論文的研究背景強調了凸體照明數問題的重要性，以及它與常寬凸體的幾何特性和球面覆蓋問題的聯繫，這些問題在組合幾何和凸體幾何中具有重要的理論和應用價值。

章節摘要

這篇論文是關於在高維歐幾里得空間中具有恆定寬度的凸體的照明數的研究，主要內容包括：

1. 引言：
   • 定義了凸體、照明數等基本概念，並介紹了問題的背景。
   • 提出了主要問題：是否存在具有恆定寬度的凸體，其照明數至少為(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 引用了O. Schramm的工作，證明了照明數的上界。
   • 通過構造特定的凸體，回答了G. Kalai提出的問題。
2. 主要定理和引理：
   • 提出了主要定理（Theorem 1），證明了存在滿足特定照明數下界的凸體。
   • 引入了輔助的幾何引理（Lemma 1），用於分析凸體的照明方向。
   • 提出了概率引理（Lemma 2），用於構造滿足特定條件的點集。
3. 幾何論證：
   • 通過幾何觀察和論證，證明了主要定理。
   • 詳細分析了凸體的直徑、照明方向與點集之間的關係。
4. 概率論證：
   • 使用概率方法證明了引理2，構造了滿足特定條件的點集。
   • 討論了點集在球面上的分布和覆蓋問題。
5. 結論：
   • 證明了主要定理，即存在凸體的照明數至少為(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 提出了一個改進的結果（Theorem 2），關於用相同直徑的球覆蓋有限點集的問題。
   • 討論了這些結果與Borsuk猜想的關係，並提出了未來的研究方向。

研究方法

這篇論文通過幾何觀察和概率分析，研究了具有恆定寬度的凸體的照明數。以下是該研究方法論的主要組成部分：

1. 幾何觀察：
   • 定義了凸體在n維歐幾里得空間中被方向照亮的條件。
   • 引入了球冠和球面距離的概念，用於描述凸體的幾何特性。
   • 證明了一個關鍵的幾何引理，即如果凸體包含特定的球面區域，則該區域的邊界點必須被特定的方向照亮。
2. 概率分析：
   • 使用概率方法構造了滿足特定角度分離條件的點集。
   • 證明了存在足夠大的點集，使得任意兩點之間的球面距離滿足特定的不等式。
   • 利用概率引理來保證凸體的邊界點不能被少數方向同時照亮。
3. 凸體構造：
   • 利用已知的凸體包含性質，構造了具有恆定寬度的凸體。
   • 通過選擇適當的點集，確保了凸體的直徑滿足特定的條件。
   • 證明了對於任意給定的n，都存在滿足照明數下界的凸體。
4. 覆蓋問題：
   • 將凸體的照明問題轉化為覆蓋問題，研究了用相同直徑的球覆蓋有限點集的最小數量。
   • 利用概率引理改進了之前關於覆蓋問題的結果。
   • 證明了對於任意給定的n，存在不能被較少數量的球覆蓋的點集。
5. 綜合分析：
   • 結合幾何觀察和概率分析的結果，證明了凸體的照明數可以非常接近於某個指數函數的倒數。
   • 討論了這些結果對於理解凸體的幾何特性和解決相關的組合幾何問題的意義。

這篇論文的方法論分析結果表明，通過幾何和概率方法可以有效地研究凸體的照明數，並且可以構造出具有特定照明性質的凸體。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

1. 常寬凸體的照明數：證明了存在常寬凸體在n維歐幾里得空間En中，其照明數至少為(cos(π/14) + o(1))^(-n)，回答了G. Kalai提出的問題。
2. 直徑為1的有限集合的覆蓋問題：證明了存在直徑為1的有限集合在En中，不能被(2/√3 - o(1))n個直徑為1的球覆蓋，改進了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的結果。
3. 幾何觀察和引理：通過幾何引理1，證明了如果一個方向ξ照亮了點x，則ξ必須屬於某個「控制良好」的球帽。
4. 概率引理的應用：利用概率引理2，構造了滿足特定條件的點集X，這些點具有足夠「分離」的方向，從而保證了集合W = W(X)的直徑為2 cos α。
5. 凸體K的構造：通過選擇合適的X，證明了存在一個常寬凸體K，使得K的邊界上的點不能被Sn−1中的一個方向ξ同時照亮超過O(n log n)個點。
6. 覆蓋問題的改進：通過構造特定的點集X，證明了需要至少(1 + o(1)) * sin(π/3 + ε)^n個直徑為√3的球來覆蓋直徑至多為√3的集合X。

這些結論為理解常寬凸體的照明數以及有限集合的覆蓋問題提供了重要的理論基礎，並且指出了在高維空間中這些問題的複雜性。

術語表

這篇文章的術語表如下：

• 凸體（Convex body）：在歐幾里得空間中，一個凸體是指一個凸的、有非空內部的緊湊集合。
• 常寬凸體（Constant width convex body）：一個常寬凸體是指其任意兩個平行支撐超平面之間的距離相等的凸體。
• 照明數（Illumination number）：對於凸體K，照明數I(K)是指照亮K邊界上所有點所需的最小方向數。
• 單位球面（Unit sphere）：在n維歐幾里得空間中，單位球面Sn−1由所有範數為1的向量組成。
• 支撐超平面（Supporting hyperplane）：對於凸體K，一個支撐超平面是指與K相交且包含K邊界點的超平面。
• 半線（Half-line）：半線是指從一點出發沿着一個方向無限延伸的直線。
• 球冠（Spherical cap）：對於單位球面上的點x和角度α，球冠C(x, α)是指包含x且與x的角距離小於等於α的點的集合。
• 直徑（Diameter）：在幾何學中，一個集合的直徑是指集合中任意兩點間的最大距離。
• 凸包（Convex hull）：一組點的凸包是指包含這些點的最小凸集。
• 方向（Direction）：在歐幾里得空間中，一個方向可以由單位向量表示，指示了向量的方向。
• 高斯曲率（Gaussian curvature）：在微分幾何中，一個曲面點的高斯曲率是該點處曲面彎曲程度的度量。
• Borsuk猜想（Borsuk's conjecture）：Borsuk猜想是關於將一個有限點集分割成更小直徑的子集的問題。
• 同態覆蓋（Homothetic covering）：同態覆蓋是指用一系列與原集合相似的集合來覆蓋原集合。
• 凸包直徑（Convex hull diameter）：對於一組點，其凸包直徑是指其凸包中任意兩點間的最大距離。
• 凸錐（Convex cone）：一個凸錐是指由一個頂點和一條通過原點的軸定義的幾何形狀，包含所有頂點和軸之間的線段。
• 概率測度（Probabilistic measure）：概率測度是指在概率空間中，對事件集合進行度量的函數。
• 幾何觀察（Geometric observation）：幾何觀察是指通過幾何直觀或幾何分析得出的結論或發現。
• 隨機構造（Random construction）：隨機構造是指在數學或統計模型中，通過隨機過程生成的對象或集合。
• 對數階（Logarithmic order）：對數階是指函數增長速度的度量，通常用來描述算法的複雜度。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

• Schramm, O. (1988). Illuminating sets of constant width, Mathematika, 35(2), 180–189.
  • 為本文提供了關於常寬凸體照明數的上界估計。

• Kalai, G. (2015). Some old and new problems in combinatorial geometry I: around Borsuk’s problem, Surveys in combinatorics 2015, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 424, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2015, pp. 147–174.
  • 提出了本文試圖回答的問題，即是否存在具有指數級照明數的常寬凸體。

• Böröczky Jr., K., & Wintsche, G. (2003). Covering the sphere by equal spherical balls, Discrete and computational geometry, Algorithms Combin., vol. 25, Springer, Berlin, 2003, pp. 235–251.
  • 提供了球面覆蓋問題的背景和先前的結果，對本文的球面覆蓋結果有重要影響。

• Bourgain, J., & Lindenstrauss, J. (1991). On covering a set in RN by balls of the same diameter, Geometric aspects of functional analysis (1989–90), Lecture Notes in Math., vol. 1469, Springer, Berlin, 1991, pp. 138–144.
  • 為本文提供了關於相同直徑球覆蓋有限集的先前結果，本文在此基礎上進行了改進。

• Bezdek, K., & Kiss, Gy. (2009). On the X-ray number of almost smooth convex bodies and of convex bodies of constant width, Canad. Math. Bull. 52 (2009), no. 3, 342–348.
  • 討論了常寬凸體的X射線數，為本文提供了相關背景和先前的研究。