WikiEdge:ArXiv-2305.04485

• 標題：Note on illuminating constant width bodies
• 中文標題：關於照亮常寬體的註記
• 發布日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
• 作者：Alexey Glazyrin
• 分類：math.MG
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1

摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的常寬體，其照明數是$n$的指數。在這篇筆記中，我們通過推廣構造來改進他們的界限。特別地，我們構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的常寬體，其照明數至少為$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何改進已知的具有常寬體的照明數的上界？
• 如何構造一個具有常寬體的凸體，其照明數在維度上呈指數增長？
• 如何確定凸體的最小照明集的大小？
• 如何通過改變錐體的參數來獲得更高的照明數？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的照明問題：
   • 一個凸體的邊界點被一個方向（單位向量）照亮，如果從該點出發的射線在該方向上與凸體的內部相交。
   • 確定一個給定凸體或給定類別的凸體的最小照明集大小，即照明數，是一個自然而有趣的問題。
   • Schramm證明了任何n維常寬體的照明數不超過(√3/2 + o(1))n。
   • 之前的問題，是否存在具有指數級照明數的常寬體，最近由Arman, Bondarenko, 和 Prymak給出了肯定的答案。
   • 他們的構造基於單位球內嵌入的全等直角球錐的併集，這些球錐的直徑等於每個球錐的直徑。
   • 通過選擇球錐的頂點，根據Boroczky和Wintsche構建的經濟覆蓋球面的方法，並估算可以被相同方向照亮的頂點數，他們展示了存在一個具有指數級照明數的常寬體。
   • 本文的主要思想是推廣他們的構造，通過這種方式獲得在選擇球錐頂點時更多的自由度。
   • 作者考慮了頂點位於單位球內，但底面屬於可能具有不同半徑R的同心球的直角球錐。
   • 通過固定R、頂點到底面的距離d、球錐軸線與母線之間的夾角α，以及底面球的球半徑β，作者提出了一種新的構造方法。
   • 作者通過選擇適當的球錐參數，證明了存在一個n維常寬體，其照明數至少為(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。