WikiEdge:ArXiv-2305.04485
- 標題：Note on illuminating constant width bodies
- 中文標題：關於照亮常寬體的註記
- 發布日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
- 作者：Alexey Glazyrin
- 分類：math.MG
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1
摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的常寬體，其照明數是$n$的指數。在這篇筆記中，我們通過推廣構造來改進他們的界限。特別地，我們構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的常寬體，其照明數至少為$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。
問題與動機
作者的研究問題包括：
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體的照明問題：
- 一個凸體的邊界點被一個方向（單位向量）照亮，如果從該點出發的射線在該方向上與凸體的內部相交。
- 確定一個給定凸體或給定類別的凸體的最小照明集大小，即照明數，是一個自然而有趣的問題。
- Schramm證明了任何n維常寬體的照明數不超過(√3/2 + o(1))n。
- 之前的問題，是否存在具有指數級照明數的常寬體，最近由Arman, Bondarenko, 和 Prymak給出了肯定的答案。
- 他們的構造基於單位球內嵌入的全等直角球錐的併集，這些球錐的直徑等於每個球錐的直徑。
- 通過選擇球錐的頂點，根據Boroczky和Wintsche構建的經濟覆蓋球面的方法，並估算可以被相同方向照亮的頂點數，他們展示了存在一個具有指數級照明數的常寬體。
- 本文的主要思想是推廣他們的構造，通過這種方式獲得在選擇球錐頂點時更多的自由度。
- 作者考慮了頂點位於單位球內，但底面屬於可能具有不同半徑R的同心球的直角球錐。
- 通過固定R、頂點到底面的距離d、球錐軸線與母線之間的夾角α，以及底面球的球半徑β，作者提出了一種新的構造方法。
- 作者通過選擇適當的球錐參數，證明了存在一個n維常寬體，其照明數至少為(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
章節摘要
這篇論文是關於在高維空間中，具有恆定寬度的凸體的照明數的研究，論文的主要內容可以概括如下：
- 引言：
- 定義了凸體的邊界點被方向（單位向量）照亮的概念。
- 提出了確定給定凸體或凸體類別的最小照明集大小的問題。
- 引用了Schramm的研究，指出任何具有恆定寬度的n維體的照明數不超過(√3/2 + o(1))n。
- Arman, Bondarenko, 和 Prymak最近證明了存在具有指數級照明數的恆定寬度體。
- 論文的主要貢獻是改進了他們的界限，通過推廣他們的構造方法。
- 構造方法：
- 描述了基於單位球內相等的右球錐體的併集的構造方法。
- 引入了新的參數，包括球錐的頂點在單位球上，但底面屬於一個可能不同半徑的同心球。
- 提出了一個引理，描述了W(X)的直徑為d的充分條件。
- 主要結果：
- 使用了兩個來自[1]的引理來支持主要結果。
- 提出了一個定理，對於每一個正整數n，都存在一個n維的恆定寬度體K，其照明數至少為(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
- 證明：
- 詳細說明了如何通過選擇適當的球錐參數來證明定理1.4。
- 通過設置d = 2R和2β + α = π/2來最大化α。
- 使用餘弦定理計算了R0，d0，β0和α0的值。
- 證明了通過構造的集合X滿足引理1.1的所有條件，從而W(X)的直徑為d。
- 證明了K的照明數至少為|X|/O(n log n)。
- 參考文獻：
- 列出了相關的參考文獻，包括原始的構造方法，球體覆蓋問題，凸體的凸性，以及照明集的問題。