WikiEdge:ArXiv-2305.04485

• 标题：Note on illuminating constant width bodies
• 中文标题：关于照亮常宽体的注记
• 发布日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
• 作者：Alexey Glazyrin
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1

摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的恒定宽度体，其照明数是$n$的指数。在这篇笔记中，我们通过推广构造来改进他们的界限。特别地，我们构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的恒定宽度体，其照明数至少是$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构建一个具有指数级照明数的常宽体？
• 如何改进现有关于常宽体照明数的界限？
• 如何通过改变锥体顶点的选择来增加照明数的自由度？
• 如何确定常宽体的最小照明数？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的照明问题：
   • 常宽体是指在所有方向上具有相同宽度的凸体。这类凸体的照明问题涉及到确定一个最小的方向集，使得凸体的每个边界点至少被该方向集中的一个方向所照射。
   • 照明数是描述凸体照明问题的关键参数，即确定一个凸体或一类凸体的最小照明集的大小。
   • Schramm在文献[6]中展示了任何n维常宽体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
2. 指数级照明数的常宽体的存在性：
   • Arman, Bondarenko, 和 Prymak在文献[1]中构造了一个常宽体，其照明数至少是(cos π/14 + o(1))^{-n}，从而证明了存在具有指数级照明数的常宽体。
   • 他们的构造基于单位球内嵌入的全等直角球锥的并集，这些球锥的直径与并集的直径相等。
   • 通过选择球锥的顶点，根据Boroczky和Wintsche在文献[3]中构建的经济覆盖球的方法，并估计可以被相同方向照亮的顶点数，他们展示了存在具有指数级照明数的常宽体。
3. 本文的贡献与改进：
   • 本文通过推广Arman, Bondarenko, 和 Prymak的构造方法，获得了在选择球锥顶点时更大的自由度。
   • 作者考虑了顶点位于单位球内，但底面属于同心球（可能具有不同半径R）的直角球锥。
   • 通过固定参数R、d、α、β，并选择适当的参数，作者构造了一个n维常宽体，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。

综上所述，这篇文献的背景强调了在常宽体的照明问题上，通过改进现有构造方法，可以构造出具有更大照明数的常宽体，从而在凸体几何领域取得了新的进展。