WikiEdge:ArXiv-2305.04485

• 標題：Note on illuminating constant width bodies
• 中文標題：關於照亮常寬體的註記
• 發佈日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
• 作者：Alexey Glazyrin
• 分類：math.MG
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1

摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的恆定寬度體，其照明數是$n$的指數。在這篇筆記中，我們通過推廣構造來改進他們的界限。特別地，我們構造了一個在$\mathbb{R}^n$中的恆定寬度體，其照明數至少是$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何構建一個具有指數級照明數的常寬體？
• 如何改進現有關於常寬體照明數的界限？
• 如何通過改變錐體頂點的選擇來增加照明數的自由度？
• 如何確定常寬體的最小照明數？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的照明問題：
   • 常寬體是指在所有方向上具有相同寬度的凸體。這類凸體的照明問題涉及到確定一個最小的方向集，使得凸體的每個邊界點至少被該方向集中的一個方向所照射。
   • 照明數是描述凸體照明問題的關鍵參數，即確定一個凸體或一類凸體的最小照明集的大小。
   • Schramm在文獻[6]中展示了任何n維常寬體的照明數不超過(√3/2 + o(1))n。
2. 指數級照明數的常寬體的存在性：
   • Arman, Bondarenko, 和 Prymak在文獻[1]中構造了一個常寬體，其照明數至少是(cos π/14 + o(1))^{-n}，從而證明了存在具有指數級照明數的常寬體。
   • 他們的構造基於單位球內嵌入的全等直角球錐的併集，這些球錐的直徑與併集的直徑相等。
   • 通過選擇球錐的頂點，根據Boroczky和Wintsche在文獻[3]中構建的經濟覆蓋球的方法，並估計可以被相同方向照亮的頂點數，他們展示了存在具有指數級照明數的常寬體。
3. 本文的貢獻與改進：
   • 本文通過推廣Arman, Bondarenko, 和 Prymak的構造方法，獲得了在選擇球錐頂點時更大的自由度。
   • 作者考慮了頂點位於單位球內，但底面屬於同心球（可能具有不同半徑R）的直角球錐。
   • 通過固定參數R、d、α、β，並選擇適當的參數，作者構造了一個n維常寬體，其照明數至少是(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在常寬體的照明問題上，通過改進現有構造方法，可以構造出具有更大照明數的常寬體，從而在凸體幾何領域取得了新的進展。

章節摘要

這篇論文是關於凸體照明問題的數學研究，論文的主要內容可以概括如下：

1. 引言：介紹了凸體的照明問題，即確定凸體邊界點被特定方向（單位向量）照亮的條件。提出了一個自然問題：對於給定的凸體或凸體類，確定最小照明集（照明數）的大小。
2. 主要結果：
   • 論文提出了一個改進的上界，構造了一個在Rn中的常寬凸體，其照明數至少為(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
   • 引用了Schramm的工作，證明了任何n維常寬凸體的照明數不超過(√3/2 + o(1))n。
   • 引用了Arman, Bondarenko, 和 Prymak的工作，他們構造了一個照明數至少為(cos π/14 + o(1))−n的常寬凸體。
3. 構造方法：
   • 論文通過一般化Arman, Bondarenko, 和 Prymak的構造方法，獲得了在選擇圓錐頂點時的更多自由度。
   • 考慮了頂點位於單位球內，但底面屬於同心球的可能不同半徑R的右球面圓錐。
   • 引入了固定參數R、d、α、β，並討論了這些參數之間的關係。
   • 通過Boroczky和Wintsche的經濟覆蓋球體的方法，估計了可以被同一方向照亮的頂點數。
4. 證明：
   • 論文證明了主要定理，即對於每個正整數n，存在一個n維常寬凸體K，其照明數至少為(τ + o(1))n。
   • 選擇了適當的圓錐參數，並使用引理1.1、1.2和1.3來證明定理。
   • 通過設置ψ = 2β0和ϕ = ψ + ε，並使用引理1.3構造的點集X，證明了照明數的下界。
5. 參考文獻：列出了相關文獻，包括關於凸體照明問題的研究和球體覆蓋問題的研究。