WikiEdge:ArXiv速遞/2025-05-28
摘要
- 原文標題：A recursive method for computing singular solutions in corners with homogeneous Dirichlet-Robin boundary condition with power-law coefficient variation
- 中文標題：具有冪律係數變化的齊次Dirichlet-Robin邊界條件下角點奇解計算的遞歸方法
- 發布日期：2025-05-28 16:58:19+00:00
- 作者：N. Piña-León, V. Mantič, S. Jiménez-Alfaro
- 分類：math.AP
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22585v1
中文摘要：本研究提出了一種遞歸方法，用於計算角域中拉普拉斯方程的漸近解。該問題在一側滿足齊次Dirichlet邊界條件，另一側滿足具有冪律係數變化（指數為$\alpha\in \mathbb{R}$）的Robin邊界條件（D-R角問題）。該D-R角問題的漸近解表示為：主項（齊次Dirichlet-Neumann（D-N）或Dirichlet-Dirichlet（D-D）角問題的解）與有限或無限高階影子項級數（採用含冪對數項的調和基函數）之和。研究表明，基於遞歸非齊次D-N或D-D角問題的遞歸過程分別在$\alpha > -1$和$\alpha < -1$時收斂。對於臨界情況$\alpha=-1$，給出了漸近解的閉合表達式。推導並分析了若干典型D-R角問題的漸近解，其中兩個實例應用於線彈性斷裂力學中反平面III型橋接裂紋問題。本成果可推廣至熱傳導（熱阻條件）、聲學/靜電學（阻抗條件）及彈性/結構分析（Winkler彈簧邊界條件）等眾多物理與工程領域。
摘要
- 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
- 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
- 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
- 作者：Farrukh A. Chishtie
- 分類：physics.flu-dyn, math.CV
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1
中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。
摘要
- 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
- 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
- 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
- 作者：Andreu Ballus Santacana
- 分類：math.CT, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1
中文摘要：我們提出了一種徹底極簡的範疇論基礎，用於邏輯、語義和計算，其構建僅基於遞歸差異的單一生成公理。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構建自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層在句法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調H1的消失，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性和單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓子、以及所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一句法公理完全導出語義（模態、集合論、計算和元邏輯），在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。