WikiEdge:ArXiv-1412.8693

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  • 標題：The asymmetry of complete and constant width bodies in general normed spaces and the Jung constant
  • 中文標題：一般規範空間中完全體和常寬體的不對稱性以及Jung常數
  • 發佈日期：2014-12-30 17:17:39+00:00
  • 作者：René Brandenberg, Bernardo González Merino
  • 分類：math.MG
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/1412.8693v3

摘要：在本文中，我們闡述了在任意閔可夫斯基空間中，體的外接半徑與直徑的最大比率（Jung常數）與該空間中完全體的最大閔可夫斯基不對稱性之間的一一對應關係。這使得我們能夠推廣和統一有關完全體的最新結果，並得出一個必要條件，即在假設給定體為完全體的情況下，對空間的單位球的條件。最後，我們給出了幾個推論，即關於Helly維數或Banach-Mazur距離的問題。

問題與動機

作者的研究問題包括：

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. Minkowski空間中幾何體的對稱性和不對稱性：
  2. 幾何體的完全性和常寬性：
  3. Jung常數和Minkowski不對稱性的聯繫：
  4. 幾何不等式和凸體的半徑：

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在Minkowski空間中，幾何體的對稱性和不對稱性度量，以及這些度量如何與幾何體的完全性和常寬性相關聯，進而揭示了Jung常數和Minkowski不對稱性之間的深刻聯繫。

章節摘要

這篇論文是關於在一般範數空間中完全體和恆定寬度體的不對稱性以及Jung常數的研究，論文的主要內容可以概括如下：

  1. 引言：介紹了在Minkowski空間中完全集（不能增大而不增加其直徑的有界集）的概念，並討論了在歐幾里得空間和平面Minkowski空間中完全集與恆寬集的關係。同時，引入了Minkowski不對稱性的概念，並討論了其在幾何不等式中的應用。
  2. 偽完全性和完全性：
    • 討論了偽完全集和完全集的性質，以及它們與Minkowski空間中單位球的關係。
    • 提出了一些關於完全集和偽完全集的幾何不等式，並證明了這些不等式。
    • 引入了Scott完全的概念，並討論了其存在性。
  3. Jung常數與Minkowski不對稱性：
    • 建立了Jung常數（表示體的外接半徑與直徑的最大比率）與Minkowski空間中完全體的Minkowski不對稱性之間的一一對應關係。
    • 提出了一個定理，描述了Jung常數與Minkowski不對稱性之間的關係，並討論了其在不同Minkowski空間中的推廣。
    • 討論了Jung常數在幾何不等式中的應用，以及如何利用Minkowski不對稱性來改進這些不等式。
  4. Helly維數與Banach-Mazur距離：
    • 引入了Helly維數的概念，並討論了其與Minkowski空間中完全集的關係。
    • 討論了Banach-Mazur距離，並提出了一個定理，描述了Minkowski空間中完全集的Banach-Mazur距離與其Jung常數之間的關係。
    • 提出了一些關於Helly維數和Banach-Mazur距離的不等式，並討論了其在不同Minkowski空間中的推廣。
  5. 結論：總結了論文的主要發現，包括Jung常數與Minkowski不對稱性之間的關係，以及這些發現在幾何不等式和Helly維數中的應用。

研究方法

這篇論文通過數學分析和幾何論證，探討了在一般範數空間中完全體和恆定寬度體的不對稱性以及Jung常數。以下是該研究方法論的主要組成部分：

  1. 數學分析：
  2. 幾何論證：
    • 通過幾何不等式和凸體的幾何屬性，探索了完全體的外接半徑和直徑的比例。
    • 利用凸體的支撐函數和寬度，分析了恆定寬度體的特性。
    • 通過幾何構造和證明，研究了完全體和恆定寬度體之間的關係。
  3. 理論推導：
    • 通過引入Jung常數的概念，建立了完全體的最大不對稱性和Jung常數之間的一一對應關係。
    • 利用Minkowski空間的幾何特性，推導了完全體的外接半徑和直徑的比率的上界。
    • 通過數學歸納法和反證法，證明了若干幾何不等式和對稱性條件。
  4. 應用實例：
    • 通過具體的例子，如正則n-簡單形和Reuleaux體，展示了理論結果的應用。
    • 利用特定的幾何構造，如Scott補全和偽補全，說明了理論在實際幾何問題中的應用。
    • 通過計算和比較不同幾何體的Jung常數和不對稱性，驗證了理論的普適性和有效性。

這篇論文的方法論分析結果表明，Jung常數和Minkowski不對稱性為理解和量化範數空間中幾何體的幾何特性提供了有力的工具。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. Jung常數與Minkowski不對稱性的關係：在任意Minkowski空間中，一個物體的外接半徑與直徑之比（Jung常數）與該空間內完全體的最大Minkowski不對稱性存在一一對應關係。
  2. 完全體與常寬體的不對稱性：論文提出了一個必要條件，用於確定在給定的Minkowski空間中，一個給定的體是否是完全的。
  3. Helly維數與Banach-Mazur距離：論文陳述了幾個推論，例如與Helly維數或Banach-Mazur距離相關的結果。
  4. Jung常數的界定：論文證明了Jung常數可以被界定，並且這個界定與Minkowski空間的單位球有關。
  5. 完全體與偽完全體的聯繫：論文探討了完全體和偽完全體之間的關係，並提供了關於它們幾何特性的深入分析。
  6. Minkowski空間的Helly維數：論文展示了如何利用Helly維數來界定Minkowski空間中的某些幾何特性。
  7. Banach-Mazur距離的計算：論文提供了計算Banach-Mazur距離的新方法，並且展示了這個距離如何與Minkowski不對稱性相關聯。
  8. Minkowski空間中體的分類：論文對Minkowski空間中的體進行了分類，特別是完全體和常寬體，並探討了它們的幾何特性。
  9. Jung常數的計算：論文提供了計算Jung常數的方法，並且展示了這個常數如何依賴於Minkowski空間的幾何特性。
  10. Minkowski空間的幾何不等式：論文探討了Minkowski空間中幾何不等式的研究，特別是與外接半徑和直徑比率相關的不等式。
  11. Minkowski空間的完美範數：論文討論了在哪些條件下Minkowski空間的範數是完美的，並且提供了完美範數空間的幾何特性。

這些結論為理解Minkowski空間中的幾何特性提供了重要的理論基礎，並且指出了在這些空間中完全體和常寬體的幾何特性如何相互關聯。

術語表

這篇文章的術語表如下：

  • Minkowski空間（Minkowski space）：一個有限維實數賦范空間，用於研究凸體和幾何不等式。
  • 完全體（Complete bodies）：在Minkowski空間中，不能通過增大而不增加其直徑的有界集合。
  • 常寬體（Constant width bodies）：在任意方向上的寬度都相等的凸體。
  • Minkowski不對稱性（Minkowski asymmetry）：描述凸集不對稱性的度量，是將一個集合通過縮放後能夠覆蓋其關於原點的鏡像集合所需的最小縮放因子。
  • Jung常數（Jung constant）：在任意Minkowski空間中，凸體的外接半徑與直徑之比的最大值。
  • 外接半徑（Circumradius）：能夠包含凸體的最小球體的半徑。
  • 直徑（Diameter）：凸體上兩點間最大距離的兩倍。
  • 內半徑（Inradius）：能夠被凸體完全包含的最大球體的半徑。
  • 偽完全體（Pseudo-complete bodies）：存在一個平移，使得該平移後的單位球體被包含在該體內部，並且該體被包含在以該平移為中心的外接球體中。
  • Scott補全（Scott completion）：如果一個補全與原集合具有相同的外接球，並且直徑也相同，則稱這個補全為Scott補全。
  • Banach-Mazur距離（Banach-Mazur distance）：兩個全維集合之間的距離，定義為一個集合能夠通過線性映射縮放並平移至另一個集合所需的最小縮放因子。
  • Helly維數（Helly dimension）：在凸幾何中，如果一個凸集族中任意k+1個集合的交集非空，則整個族的交集也非空的最小正整數k。
  • Blaschke選擇定理（Blaschke Selection Theorem）：在凸體理論中，如果一個凸體序列的直徑和外接半徑都受到限制，則該序列有一個收斂子序列。
  • 線性規劃（Linear Programming）：一種數學方法，用於在一組線性不等式約束下最大化或最小化一個線性目標函數。
  • 平行otope（Parallelotope）：一種多面體，可以通過將一個向量加到另一個向量上得到，其所有面都是平行四邊形。
  • Reuleaux三角形（Reuleaux triangle）：一個由圓弧構成的平面圖形，其邊界由三個圓的弧段組成，每個弧段的圓心位於其他兩個弧段的圓上。
  • Meissner體（Meissner bodies）：在三維空間中，具有特定幾何屬性的常寬體。
  • Hadamard矩陣（Hadamard matrix）：一種特殊類型的方陣，其元素為+1或-1，行之間正交。
  • 凸包（Convex hull）：一組點的最小凸集，包含該組點中的每一個點。
  • 支持函數（Support function）：定義為凸體上任意一點在給定方向上的支撐超平面的最小距離。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

  • [18] H. G. Eggleston, Measures of asymmetry of convex curves of constant width and restricted radii of curvature, Quard J. Math. Oxford Ser. 3 (1952), no. 2, 63–72.
    • 提供了凸曲線的不對稱性度量的基礎理論。
  • [26] B. Grünbaum, Measure of convex sets, Convexity, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 7, 233-270. American Math. Society, Providence (1963).
    • 為凸集的度量提供了深入的討論，對本文的理論和方法有重要影響。
  • [34] H. Jung, Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt, J. Reine Angew. Math. 123 (1901), 241–257.
    • Jung定理是本文研究的基礎之一，提供了凸體和其外接球半徑之間關係的重要理論。
  • [46] R. Schneider, Stability for some extremal properties of the simplex, J. Geom. 96 (2009), 135–148.
    • 討論了凸多邊形的一些極值性質的穩定性，對本文的穩定性分析有重要貢獻。
  • [14] R. Brandenberg, S. König, Sharpening geometric inequalities using computable symmetry measures, arXiv:1310.4368.
    • 提供了使用可計算的對稱性度量來銳化幾何不等式的方法，對本文的方法論有直接影響。
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