WikiEdge:ArXiv-1801.01161
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- 標題：Spherical bodies of constant width
- 中文標題：常寬度的球形體
- 發布日期：2018-01-03 20:44:24+00:00
- 作者：Marek Lassak, Michał Musielak
- 分類：math.MG, 52A55
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1801.01161v1
摘要：一個 $d$ 維球體 $S^d$ 的兩個不同且非對立的半球 $G$ 和 $H$ 的交集 $L$ 被稱為弓形。我們將 $L$ 的厚度定義為界定 $L$ 的 $(d-1)$ 維半球的中心的距離。對於支持一個球形凸體 $C \subset S^d$ 的半球 $G$，我們定義 ${\rm width}_G(C)$ 為包含 $C$ 的形式為 $G \cap H$ 的最窄弓形或弓形的厚度。如果對於每個支持 $C$ 的半球 $G$，${\rm width}_G(C) =w$，我們就說 $C$ 是一個常寬度為 $w$ 的體。我們展示了這些體的屬性。特別地，我們證明了任何在 $S^d$ 上的常寬度為 $w$ 的球形體 $C$ 的直徑是 $w$，並且如果 $w < \frac{\pi}{2}$，那麼 $C$ 是嚴格凸的。此外，我們正在檢查常寬度和常直徑的球形體何時重合。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何定義和理解在\[ S^d \]上的常寬球體？
- 如何確定一個球體是否具有常寬，並且其常寬是多少？
- 常寬球體的直徑與其常寬之間有何關係？
- 常寬球體是否一定是嚴格凸的？
- 常寬球體和常直徑球體之間有何聯繫？
- 在\[ S^d \]上，常寬球體和常直徑球體是否等價？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 球面幾何與凸體的性質：
- 常寬體的定義與研究：
- 球面凸體的直徑與寬度的關係：
- 球面凸體的直徑和寬度是衡量其形狀的重要參數，研究這兩者之間的關係有助於揭示球面凸體的內在性質。
- 直徑和寬度的關係在球面幾何中可能與歐幾里得空間中的情況有所不同，因此需要特別的研究。
- 球面常寬體與常直徑體的等價性問題：
- 探討球面常寬體是否必然是常直徑體，以及這兩者之間的轉換關係，對於完善球面凸體理論具有重要意義。
- 這一問題的研究可能涉及到球面幾何中更深層次的性質，如球面凸體的支撐性質和邊界行為。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了球面幾何中常寬體和常直徑體的研究重要性，以及這些概念在理論發展和實際應用中的潛在價值。
章節摘要
這篇論文是關於常寬球體的研究，論文的主要內容可以概括如下：
- 引言：定義了球體的月牙形（lune）以及球體上的凸體概念，介紹了球體的寬度定義，並提出了研究的主要問題。
- 球面凸體的一些引理
- 常寬球體
- 定義了球面凸體的常寬，並討論了其基本性質。
- 通過構造性的例子，展示了在三維球面上的常寬凸體。
- 常寬球體的直徑
- 定理1：證明了常寬球體在任意邊界點處可以內切唯一的球體。
- 定理2：證明了小於π/2的常寬球面凸體是嚴格凸的。
- 定理3：證明了對於任意常寬球體和其邊界上的點，都存在一個包含該球體的月牙形，其厚度等於球體的常寬。
- 定理4：證明了常寬球體的直徑等於其常寬。
- 常寬與常直徑
- 定理5：證明了常寬球面凸體具有常直徑，且如果直徑大於等於π/2，則也是常寬的。
- 提出了一個開放性問題：是否所有直徑小於π/2的球面凸體都是常寬凸體。
研究方法
這篇論文通過數學分析和幾何論證，探討了在球面上具有恆定寬度的凸體的性質。以下是該研究方法論的主要組成部分：
- 數學定義與性質探討：
- 幾何論證與定理證明：
- 凸體的分類與特性分析：
- 對球面凸體進行了分類，區分了嚴格凸體和非嚴格凸體。
- 分析了不同類型球面凸體的幾何特性，如光滑性和對稱性。
- 探討了球面凸體的直徑和寬度在不同維度下的表現。
- 應用實例與案例分析：
- 通過構造具體的例子，展示了球面凸體的寬度和直徑的幾何意義。
- 分析了在特定條件下，球面凸體的寬度和直徑如何決定其形狀。
- 討論了球面凸體的這些性質在實際應用中可能的意義和作用。
- 問題提出與猜想驗證：
這篇論文的方法論分析結果表明，球面凸體的寬度和直徑之間存在密切的數學關係，且這些關係可以通過幾何論證和數學定理得到嚴格的證明。此外，論文還探討了這些幾何性質在不同維度和條件下的表現，為理解球面凸體的幾何結構提供了深入的洞見。
研究結論
根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：
- 常寬球體的定義與性質：定義了在球面上的凸體，如果每一個支撐該凸體的半球體所確定的寬度都相同，則稱該凸體具有常寬。
- 常寬球體的直徑：證明了在球面上具有常寬 \( w \) 的任何凸體 \( C \) 的直徑是 \( w \)。
- 凸體的嚴格凸性：如果 \( w < \frac{\pi}{2} \)，則凸體是嚴格凸的。
- 常寬與常直徑的一致性：探討了常寬球體與常直徑球體的一致性，證明了如果 \( w \geq \frac{\pi}{2} \)，則常直徑凸體也是常寬凸體。
- 常寬凸體的平滑性：證明了如果凸體的常寬大於 \( \frac{\pi}{2} \)，則該凸體是平滑的。
- 常寬凸體的構造：給出了構造常寬凸體的例子，如球體和球面Reuleaux多邊形。
- 常寬凸體的支撐特性：證明了對於任意邊界點，存在一個唯一的支撐半球體，使得內切球與凸體在該點接觸。
- 常寬凸體的直徑與寬度關係：證明了如果凸體的直徑大於 \( \frac{\pi}{2} \)，則其常寬大於 \( \frac{\pi}{2} \)。
- 常寬凸體的包含關係：證明了對於常寬不超過 \( \frac{\pi}{2} \) 的凸體，凸體被包含在通過該點的半球體內。
- 常寬凸體的極端點性質：證明了每個點都屬於至多 \( d + 1 \) 個極端點的凸包內。
- 常寬凸體的球面距離性質：證明了在常寬凸體中，任意兩點之間的球面距離滿足特定的條件。
- 常寬與常直徑球體的等價性問題：提出了一個問題，即是否每一個直徑小於 \( \frac{\pi}{2} \) 的常直徑球體也是一個常寬球體。
術語表
這篇文章的術語表如下：
- 球面體（Spherical body）：指在d維球面Sd中的一個凸集。
- 半球（Hemisphere）：球面Sd與Ed+1中的閉半空間的共同部分。
- 月牙（Lune）：兩個不同的非相對半球G和H的交集中稱為月牙。
- 球面距離（Spherical distance）：球面上兩點之間的較短部分的弧長。
- 球面凸體（Spherical convex body）：在球面上沒有一對對跖點屬於C，並且對於任意a, b ∈ C，線段ab包含於C中。
- 球面球（Spherical ball）：球面Sd中與d-1維大球的共同部分。
- 球面寬度（Width of a spherical body）：對於支持凸體C的半球G，定義widthG(C)為包含C的最窄月牙的厚度。
- 常寬體（Body of constant width）：如果對於每個支持C的半球G，widthG(C) = w，則稱C為常寬體。
- 球面直徑（Diameter of a spherical body）：球面體C的直徑是C中任意兩點間的最大球面距離。
- 球面凸包（Convex hull）：對於Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
- 球面厚度（Thickness of a lune）：月牙L的厚度定義為界定L的(d-1)維半球的中心之間的球面距離。
- 球面極端點（Extreme point of a spherical body）：在球面凸體C中，如果不存在其他點使得該點位於連接這兩點的線段上，則該點是極端點。
- 球面支持半球（Supporting hemisphere）：如果C ⊂ Q且bd(C) ∩ bd(Q) ≠ ∅，則稱半球Q從內部接觸凸體C。
- 球面相對內部（Relative interior of a convex set）：指凸集C在包含它的最小球面Sk中的內部。
- 球面凸包（Convex hull）：對於Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
- 球面常寬體（Spherical body of constant width）：如果對於每個支持W的半球，W的寬度相同，則稱W為常寬體。
- 球面直徑常數體（Spherical body of constant diameter）：如果滿足直徑等於某個常數w，並且對於每個邊界點p存在另一個邊界點p'使得距離等於w，則稱為直徑常數體。
- 球面嚴格凸體（Strictly convex spherical body）：如果每個支持半球在W上支持超過一個點，則W不是嚴格凸的。
- 球面常寬體的直徑（Diameter of a body of constant width）：如果W是常寬體，則其直徑等於其寬度。
- 球面常直徑體的寬度（Width of a body of constant diameter）：如果W是常直徑體，則其寬度等於其直徑。
參考文獻
這篇文章的主要參考文獻如下：
- G. D. Chakerian, H. Groemer (1983). Convex bodies of constant width, Convexity and its applications, 49-96, Birkhauser, Basel.
- 提供了常寬凸體的基本概念和性質，為本文提供了理論基礎。
- L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee (1963). Helly's theorem and its relatives, in Proc. of Symp. in Pure Math. vol. VII, Convexity, 1963, pp. 99–180.
- 討論了Helly定理及其在凸體理論中的應用，對本文的幾何分析有重要影響。
- M. Lassak (2015). Width of spherical convex bodies, Aequationes Math. 89 (2015), 555-567.
- 詳細研究了球面凸體的寬度，為本文提供了直接的理論支持和方法論指導。
- M. Lassak, M. Musielak (未出版). Reduced spherical convex bodies, to appear (see also arXiv:1607.00132v1).
- 探討了球面凸體的簡化模型，為本文提供了相關的研究背景和參考。
- H. Hadwiger (1955). Kleine Studie zur kombinatorischen Geometrie der Sphäre, Nagoya Math. J. 8 (1955), 45–48.
- 對球面組合幾何進行了初步研究，為本文提供了球面幾何的基礎理論。