WikiEdge:ArXiv-1905.09098

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  • 標題：Constant diameter and constant width of spherical convex bodies
  • 中文標題：球形凸體的常數直徑和常數寬度
  • 發布日期：2019-05-22 12:22:23+00:00
  • 作者：Huhe Han, Denghui Wu
  • 分類：math.MG
  • 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/1905.09098v2

摘要：在本文中，我們證明了一個球形凸體$C$的直徑為常數$\tau$當且僅當$C$的寬度為常數$\tau$，其中$0<\tau<\pi$。此外，還給出了一些關於Wulff形狀的應用。

問題與動機

作者的研究問題包括：

  • 如何證明在球面上的凸體具有恆定直徑當且僅當它具有恆定寬度？
  • 在球面上的凸體具有恆定直徑和恆定寬度的性質在何種條件下等價？
  • 球面上的凸體的直徑和寬度的恆定性是否與Wulff形狀有關聯？
  • 如何將球面上的凸體的直徑和寬度的性質應用於Wulff形狀？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 球面凸體的常直徑與常寬度性質：
    • 在數學領域，尤其是凸體幾何學中，球面凸體的常直徑和常寬度性質是重要的研究對象。常直徑和常寬度的概念在描述凸體的幾何特性時非常關鍵。
    • 常直徑和常寬度的性質在不同的空間中可能有所不同，特別是在單位球面$S^n$中，這些性質的等價性是一個值得探討的問題。
    • 作者在這篇論文中探討了在單位球面$S^n$中，球面凸體的常直徑和常寬度性質是否等價，即如果一個球面凸體具有常直徑$\tau$，那麼它是否也具有常寬度$\tau$。
  2. Wulff形狀的應用：
    • Wulff形狀是一類特殊的凸體，它們在材料科學、物理學和數學中有着廣泛的應用，特別是在晶體生長和相變理論中。
    • 作者進一步探討了球面凸體的常直徑和常寬度性質與Wulff形狀之間的關係，以及這些性質在Wulff形狀中的應用。
    • 通過研究Wulff形狀的球面版本，作者提供了關於這些形狀的直徑和寬度性質的新見解。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了球面凸體的常直徑和常寬度性質在數學和應用科學中的重要性，以及這些性質在Wulff形狀研究中的應用潛力。

章節摘要

這篇論文是關於球面凸體的常直徑和常寬度的研究，論文的主要內容可以概括如下：

  1. 引言：介紹了在歐幾里得空間中常直徑與常寬度凸體的性質，並提出了在單位球面中這一性質是否成立的問題。定義了球面凸體、球面距離、球面極體等概念，並介紹了球面凸包的定義。
  2. 定理1的證明：
    • 證明了如果球面凸體C的直徑為常數τ，則其寬度也為常數τ。
    • 利用了支撐球面和球面極體的性質，證明了常寬度球面凸體的直徑也為常數。
    • 引入了球面凸體的支撐球面和球面極體的概念，並證明了相關引理。
  3. 應用到Wulff形狀：
    • 介紹了Wulff形狀的定義和性質，以及與球面凸體的關係。
    • 討論了Wulff形狀的對偶形狀，並證明了與球面極體的關係。
    • 提出了球面Wulff形狀的常寬度與球面凸體的常直徑之間的關係。
    • 證明了如果Wulff形狀是自對偶的，則其球面Wulff形狀的直徑為π/2。
  4. 致謝：感謝陝西省自然科學基金和西北農林科技大學科研啟動基金的支持。

研究方法

這篇論文通過數學證明和幾何分析，探討了球面凸體的常直徑和常寬度性質。以下是該研究方法論的主要組成部分：

  1. 數學證明：
    • 利用球面凸體的定義和性質，證明了球面凸體的常直徑性質等價於其常寬度性質。
    • 通過構造球面凸體的極體，並分析其支撐超球的性質，證明了定理1。
    • 利用球面凸體的極體的性質，證明了球面凸體與其極體的常寬度性質之間的關係。
  2. 幾何分析：
    • 分析了球面凸體的支撐超球和球面極體的幾何關係，以及這些關係如何影響球面凸體的直徑和寬度。
    • 探討了球面凸體的直徑和寬度的幾何意義，以及這些幾何量如何反映球面凸體的形狀和結構。
    • 通過球面凸體的支撐超球和球面極體的幾何構造，推導出球面凸體的直徑和寬度的等式關係。
  3. 應用分析：
    • 將球面凸體的常直徑和常寬度性質應用於Wulff形狀的研究，探討了這些性質在Wulff形狀中的體現。
    • 分析了Wulff形狀的自對偶性質與其球面凸體的常直徑和常寬度性質之間的關係。
    • 利用球面凸體的常直徑和常寬度性質，推導出Wulff形狀的極體和球面極體的直徑和寬度的等式關係。

這篇論文的方法論分析結果表明，球面凸體的常直徑性質與其常寬度性質等價，並且這些性質在Wulff形狀的研究中有重要應用。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. 球面凸體的直徑與寬度的關係：對於任意的 \(0 < \tau < \pi\)，球面凸體 \(C\) 在 \(S^n\) 中是常直徑 \(\tau\) 當且僅當它是常寬度 \(\tau\)。
  2. 球面凸體的極體性質：
    • 常寬度與極體常寬度的關係：如果球面凸體 \(C\) 是常寬度 \(\tau\)，則其極體 \(C^\circ\) 是常寬度 \(\pi - \tau\)。
    • 常直徑與極體常直徑的關係：如果球面凸體 \(C\) 是常直徑 \(\tau\)，則其極體 \(C^\circ\) 是常直徑 \(\pi - \tau\)。
  3. Wulff形狀的應用：
    • Wulff形狀與其對偶形狀的關係：如果Wulff形狀 \(W_\gamma\) 的球面Wulff形狀是常寬度，則 \(W_\gamma\) 與其對偶Wulff形狀 \(DW_\gamma\) 滿足特定的直徑和寬度關係。
    • 自對偶Wulff形狀的判定：Wulff形狀 \(W_\gamma\) 是自對偶的當且僅當其球面Wulff形狀是常直徑 \(\pi/2\) 或常寬度 \(\pi/2\)。

這些結論為理解球面凸體的幾何性質以及Wulff形狀在材料科學中的應用提供了重要的理論基礎。

術語表

```wikitext 這篇文章的術語表如下：

  • 球形凸體（Spherical convex body）：在單位球面\( S^n \)中，如果集合\( K \)是閉的、球形凸的且相對於\( S^n \)有非空內部，則稱\( K \)為球形凸體。
  • 直徑（Diameter）：凸體\( K \)的直徑定義為\( \max\{|PQ| : P, Q \in K\} \)。
  • 常寬凸體（Constant width body）：如果凸體\( K \)相對於任何支持半球體的寬度都相等，則稱\( K \)為常寬凸體。
  • 常徑凸體（Constant diameter body）：如果凸體\( K \)的直徑為\( \tau \)，並且對於\( K \)的邊界上的每一個點\( P \)，都存在\( K \)中的一個點\( Q \)使得\( |PQ| = \tau \)，則稱\( K \)為常徑凸體。
  • 極體（Polar body）：對於\( S^n \)中的任意非空閉半球體子集\( W \)，\( W \)的球極集記為\( W^\circ \)。
  • 支持半球體（Supporting hemisphere）：如果半球體\( S^+_Q \)包含凸體\( K \)且\( P \in \partial K \cap S^+_Q \)，則稱\( S^+_Q \)在\( P \)處支撐\( K \)。
  • 光滑凸體（Smooth body）：如果對於\( K \)的邊界上的每一個點\( P \)，都存在唯一的半球體支撐\( K \)，則稱\( K \)為光滑凸體。
  • 月牙（Lune）：如果\( S^+_P \)和\( S^+_Q \)是\( S^n \)中不同且不相對的半球體，則它們的交集\( S^+_P \cap S^+_Q \)稱為\( S^n \)的月牙。
  • 厚度（Thickness）：月牙\( S^+_P \cap S^+_Q \)的厚度由\( \Delta(S^+_P \cap S^+_Q) = \pi - |PQ| \)給出。
  • 寬度（Width）：如果\( S^+_P \)是凸體\( K \)的支持半球體，則\( K \)相對於\( S^+_P \)的寬度定義為\( \text{width}_{S^+_P}(K) = \min\{\Delta(S^+_P \cap S^+_Q) : K \subset S^+_Q\} \)。
  • 凸包（Convex hull）：對於\( S^n \)中的任意子集\( W \)，\( W \)的球形凸包記為\( s\text{-conv}(W) \)。
  • Wulff形狀（Wulff shape）：與函數\( \gamma: S^n \to \mathbb{R}^+ \)相關的Wulff形狀記為\( W_\gamma \)。
  • 支撐函數（Support function）：與Wulff形狀相關的支撐函數\( \bar{\gamma} \)定義為\( \gamma(\theta) = 1/\rho_{W_\gamma}(-\theta) \)。
  • 對偶Wulff形狀（Dual Wulff shape）：與支撐函數\( \bar{\gamma} \)相關的對偶Wulff形狀記為\( DW_\gamma \)。
  • 自對偶Wulff形狀（Self-dual Wulff shape）：如果Wulff形狀\( W \)與其對偶Wulff形狀\( DW \)完全相同，則稱\( W \)為自對偶Wulff形狀。
  • 球極變換（Spherical polar transform）：球極變換是將\( R^{n+1} \)中的凸體映射到\( S^n \)中的球形凸體的過程。
  • 球面距離（Spherical distance）：對於\( S^n \)中的兩點\( P \)和\( Q \)，它們的球面距離由\( |PQ| = \arccos(\overrightarrow{OP} \cdot \over

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

  • Han, H., & Nishimura, T. (2017). Strictly convex Wulff shapes and C1 convex integrands, Proc. Amer. Math. Soc., 145, 3997–4008.
    • 提供了關於凸體和凸積分的研究，為本文提供了理論基礎。
  • Han, H., & Nishimura, T. (2017). Self-dual Wulff shapes and spherical convex bodies of constant width π/2, J. Math. Soc. Japan., 69, 1475–1484.
    • 研究了自對偶Wulff形狀和常寬球面凸體，為本文提供了重要的理論支持。
  • Lassak, M., & Musielak, M. (2018). Spherical bodies of constant width, Aequationes Math., 92, 627–640.
    • 探討了常寬球面凸體的性質，對本文的研究有直接影響。
  • Lassak, M. (2015). Width of spherical convex bodies, Aequationes Math., 89, 555–567.
    • 研究了球面凸體的寬度，為本文提供了重要的參考。
  • Schneider, R. (2014). Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, second edition, Encyclopedia Math. Appl., Cambridge University Press, Cambridge.
    • 提供了凸體理論的深入分析，為本文提供了理論背景。
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