WikiEdge:ArXiv-2106.00118

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  • 標題：Approximation of Spherical Bodies of Constant Width and Reduced Bodies
  • 中文標題：常寬球體和約化體的近似
  • 發佈日期：2021-05-31 22:11:14+00:00
  • 作者：Marek Lassak
  • 分類：math.MG, 52A55
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2106.00118v2

摘要：我們提出了 Blaschke 定理的球面版本，即任何寬度為 $w < \frac{\pi}{2}$ 的恆寬體都可以在 Hausdorff 距離意義上被一個只由半徑為 $w$ 的圓弧構成的恆寬體儘可能好地逼近。這是我們關於球面約化體逼近定理的一個特例。

問題與動機

作者的研究問題包括：

  • 如何將平面上的Blaschke定理推廣到球面上？
  • 如何在球面上定義和構造具有恆定寬度的凸體？
  • 如何在球面上定義和構造簡化體？
  • 如何在球面上近似具有恆定寬度的凸體和簡化體？
  • 如何在球面上測量和比較凸體之間的距離？
  • 如何在球面上構造具有特定幾何屬性的凸體？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 球面幾何中的凸體近似問題：
    • 研究球面上的凸體，特別是具有恆定寬度的凸體，以及它們的近似問題。
    • 探討了在球面幾何中，如何通過具有特定屬性的凸體來逼近給定的凸體。
  2. Blaschke定理的球面版本：
    • Blaschke定理指出，在歐幾里得平面中，任何具有恆定寬度的凸體都可以被一系列邊界僅由半徑等於該寬度的圓弧組成的凸體逼近。
    • 本文提出了Blaschke定理在球面幾何中的一個版本，即任何球面上的具有恆定寬度的凸體都可以被具有相同寬度的凸體逼近，這些凸體的邊界僅由圓弧組成。
  3. 球面幾何中凸體的寬度和簡化體的概念：
    • 討論了球面凸體的寬度定義及其性質，以及如何確定一個凸體是否具有恆定寬度。
    • 引入了球面簡化體的概念，並探討了其基本性質。
  4. 球面幾何中的Hausdorff距離：
    • 在球面幾何中，使用Hausdorff距離來量化兩個凸體之間的接近程度。
    • 討論了如何通過控制Hausdorff距離來實現凸體的逼近。
  5. 球面幾何中凸體的邊界結構：
    • 分析了球面凸體的邊界結構，特別是那些具有恆定寬度或簡化性質的凸體。
    • 探討了如何通過邊界結構來構建逼近凸體。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在球面幾何中對凸體進行逼近的重要性和方法，特別是在具有恆定寬度和簡化性質的凸體的背景下。

章節摘要

這篇論文是關於球體幾何中恆寬體和簡化體的逼近問題的研究，論文的主要內容可以概括如下：

  1. 引言：介紹了Blaschke定理在歐幾里得平面上的一個版本，該定理表明任何恆寬凸體都可以用僅由半徑為該寬度的圓弧組成的凸體來逼近。論文提出了這個定理在球面S2上的一個類似版本。
  2. 球面幾何的輔助事實：
  3. 球面上的簡化體：
    • 定義了球面簡化體的概念，即對於任何子集Z，如果Z是凸體且∆(Z) < ∆(R)，則稱R為簡化體。
    • 討論了簡化體的基本性質，並引用了相關文獻中對簡化體邊界結構的描述。
    • 提出了一個定理，對於任何厚度小於π/2的簡化體R，存在一個簡化體Rε，其邊界僅由蝴蝶形的臂和半徑為∆(R)的圓弧組成，使得Rε和R之間的Hausdorff距離最多為ε。
  4. 簡化體的逼近：
    • 詳細描述了構造Rε的過程，包括如何用圓弧替換R的邊界上的曲線對。
    • 證明了Rε是一個凸體，並且具有與R相同的厚度。
    • 證明了Rε是一個簡化體，並且與R的Hausdorff距離最多為ε。
    • 提出了一個推論，對於任何恆寬體W，存在一個具有相同厚度的恆寬體Wε，其邊界僅由半徑為∆(W)的圓弧組成，使得W和Wε之間的Hausdorff距離最多為ε。
  5. 參考文獻：列出了用於撰寫論文的相關文獻。

研究方法

這篇論文通過綜合分析球面幾何、凸體理論和Hausdorff距離，探討了球面上的常寬體和約簡體的近似問題。以下是該研究方法論的主要組成部分：

  1. 球面幾何基礎：
  2. 凸體理論應用：
    • 利用凸體理論分析了球面上的常寬體和約簡體的性質。
    • 引入了球面上的常寬體和約簡體的邊界結構。
    • 證明了球面上的凸體可以被一系列更簡單的幾何形狀（如月牙形和弧線）所逼近。
  3. Hausdorff距離計算：
    • 使用Hausdorff距離來量化兩個凸體之間的接近程度。
    • 通過構造一系列逼近凸體來證明給定的凸體可以被具有相同寬度的簡單凸體逼近。
    • 證明了逼近凸體的邊界由月牙形的臂和半徑為常數的圓弧組成。
  4. 構造逼近凸體的算法：
    • 提出了一種算法，通過逐步替換凸體邊界上的弧線來構造逼近凸體。
    • 證明了該算法能夠生成一系列凸體，這些凸體的Hausdorff距離可以任意接近原始凸體。
    • 討論了算法的收斂性和逼近凸體的幾何特性。
  5. 理論證明和幾何構造：
    • 通過幾何構造和理論證明，展示了如何將球面上的凸體逼近為具有相同寬度的簡單凸體。
    • 證明了逼近凸體的邊界結構和原始凸體的邊界結構之間的關係。
    • 討論了逼近凸體的寬度和原始凸體的寬度之間的關係。

這篇論文的方法論分析結果表明，球面上的常寬體和約簡體可以通過一系列幾何構造和逼近算法被有效逼近，這對於理解和計算球面上的幾何形狀提供了重要的理論基礎。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. 球面體的近似定理：證明了對於任意厚度小於π/2的球面凸體，存在一個具有相同厚度的凸體，其邊界僅由半徑等於該厚度的圓弧組成，並且這兩個凸體之間的Hausdorff距離可以任意小。
  2. 球面體的簡化版本：提出了球面體的簡化版本定理，即對於任意厚度小於π/2的球面簡化凸體，存在一個具有相同厚度的簡化凸體，其邊界僅由半徑等於該厚度的圓弧組成，並且這兩個凸體之間的Hausdorff距離可以任意小。
  3. 球面幾何中的輔助事實：介紹了球面幾何中一些重要的輔助事實和引理，這些事實和引理對於理解和證明球面體的近似定理至關重要。
  4. 球面簡化凸體的定義和性質：詳細討論了球面簡化凸體的定義、性質以及它們與常寬度凸體之間的關係。
  5. 球面凸體的邊界結構：描述了球面簡化凸體的邊界結構，包括由蝴蝶形區域和常寬度曲線對組成的邊界。
  6. Hausdorff距離的估計：展示了如何估計原始凸體和近似凸體之間的Hausdorff距離，並證明了這種距離可以被控制在任意小的範圍內。

這些結論為球面凸體的近似和簡化提供了理論基礎，並且指出了在球面幾何中處理凸體時需要考慮的一些關鍵因素。

術語表

這篇文章的術語表如下：

  • 球面（Spherical Body）：指在三維歐幾里得空間中的單位球面。
  • 常寬體（Body of Constant Width）：在球面上，對於任意支撐半圓的月牙形區域具有相同厚度的凸體。
  • 約化體（Reduced Body）：在球面上，對於任意包含在其內部的凸體，其厚度小於約化體厚度的凸體。
  • 豪斯多夫距離（Hausdorff Distance）：度量兩個點集之間距離的一種方式，定義為兩個集合中點對距離的上確界。
  • 凸體（Convex Body）：指一個閉合的凸集，其內部不為空。
  • 球面凸體（Spherical Convex Body）：在球面上的凸體。
  • 支撐半圓（Supporting Hemisphere）：如果凸體與半圓的邊界相交，則稱該半圓支撐該凸體。
  • 月牙形（Lune）：由兩個不同中心且中心不是對跖點的半圓相交形成的區域。
  • 厚度（Thickness）：指月牙形的兩個邊界半圓中心之間的距離。
  • 極點（Antipodes）：球面上任意一對點，它們是球面上一維子空間的交點。
  • 大圓（Great Circle）：球面與三維歐幾里得空間的二維子空間的交線。
  • 球面距離（Spherical Distance）：球面上兩點之間的最短路徑長度。
  • 半圓（Semisphere）：半徑為π/2的圓盤稱為半圓。
  • 球面圓（Spherical Circle）：以球面上某點為中心，距離等於或小於某個半徑r的點集。
  • 球面三角形（Spherical Triangle）：球面上由三條大圓弧所圍成的三角形。
  • 球面凸集（Spherical Convex Set）：球面上不包含任何對跖點對，並且包含連接任意兩點的弧的集合。
  • 球面極值點（Extreme Point of Spherical Convex Body）：如果從凸體C中移除點e後，剩餘的集合仍然是凸的，則稱e為C的極值點。
  • 球面凸包（Convex Hull on Sphere）：包含半球內部某集合A的最小凸集。
  • 球面半圓（Semicircle）：以球面上某點為中心，距離等於π/2的點集。
  • 球面圓盤（Spherical Disk）：以球面上某點為中心，距離小於或等於某個半徑r的點集。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

  • Blaschke, W. (1915). Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts, Math. Ann, 76, 504–513.
    • 提供了關於常寬體和最小內容的凸區域的定理，為本文提供了理論基礎。
  • Bonnesen, T., & Fenchel, W. (1934). Theorie der konvexen Körper (Engl. transl. Theory of Convex Bodies, BCS Associated, Moscow, Idaho USA, 1987).
    • 作為凸體理論的經典著作，為本文提供了關於凸體的一般理論支持。
  • Eggleston, H. G. (1958). Convexity, Cambridge University Press.
    • 提供了凸集和凸包的基本概念和性質，對本文的幾何分析有重要影響。
  • Fabińska, E., & Lassak, M. (2007). Reduced bodies in normed spaces, Isr. J. Math. 161, 75–88.
    • 討論了範數空間中的簡化體，為本文在球面上的簡化體提供了類比和參考。
  • Lassak, M. (2012). Approximation of bodies of constant width and reduced bodies in a normed plane, J. Convex Anal. 19, 865–874.
    • 探討了範數平面中常寬體和簡化體的逼近問題，為本文提供了逼近理論的參考。
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