WikiEdge:ArXiv-2211.06151
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- 標題：On mean curvature integrals of the outer parallel convex body of constant width
- 中文標題：關於常寬度外部平行凸體的平均曲率積分
- 發布日期：2022-11-11 12:07:26+00:00
- 作者：Zezhen Sun
- 分類：math.MG, 52A20, 53C65
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2211.06151v1
摘要：在本文中，我們得到了一些關於常寬度外部平行凸體的平均曲率積分的結果。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何計算常寬體外平行凸體的平均曲率積分？
- 如何將常寬體的外平行凸體的平均曲率積分與投影體的平均曲率積分聯繫起來？
- 如何在Grassmann流形上計算外平行凸體的平均曲率積分的積分？
- 如何將這些結果應用於凸體理論和積分幾何？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 積分幾何中的平均曲率積分：
- 常寬凸體的外平行凸體的平均曲率積分：
- 常寬凸體是指在任意兩個平行支撐超平面之間始終保持恆定距離的凸體。
- 研究外平行凸體的平均曲率積分有助於更深入地理解常寬凸體的幾何特性。
- 前人工作與本研究的關係：
- Santalò 研究了在 \( \mathbb{R}^n \) 中的凸體 \( K \) 的平均曲率積分 \( M(n)_l \) 並建立了其與 \( M(r)_i \) 的關係。
- 後續研究者如 Zhou-Jiang、Jiang-Zeng 和 Zeng-Ma-Xia 進一步研究了外平行凸體的平均曲率積分，擴展了 Santalò 的結果。
- 本文在前人研究的基礎上，進一步探討了常寬凸體外平行凸體的平均曲率積分。
章節摘要
這篇論文是關於常寬體外平行凸體的平均曲率積分的研究，論文的主要內容可以概括如下：
- 引言
- 預備知識
- 主要定理的證明
- 定理1.1：證明了在不同條件下，外平行凸體的平均曲率積分可以通過原凸體的平均曲率積分和一些幾何參數來表示。
- 定理1.2：計算了在Grassmann流形上的平均曲率積分的積分，並展示了其與原凸體平均曲率積分的關係。
- 致謝
- 作者感謝上海市科學技術委員會和國家自然科學基金的部分支持，並聲明了研究資助和數據可用性。
- 參考文獻
- 列出了相關研究的參考文獻，包括Santaló、Zhou-Jiang、Jiang-Zeng、Zeng-Ma-Xia等。
研究方法
這篇論文通過數學分析和幾何計算，研究了常寬體外平行凸體的平均曲率積分。以下是該研究方法論的主要組成部分：
- 數學分析：
- 幾何計算：
- 研究了在n維歐幾里得空間中，通過固定點O的r維線性子空間Lr[O]的外平行凸體Kρ的平均曲率積分M(n) l。
- 計算了凸體Φ'r在r維線性子空間Lr[O]上的正交投影(Φ'r)(n) ρ的邊界的平均曲率積分。
- 利用了凸體Φ'r在Lr[O]中的平均曲率積分M(r) l與凸體Φ'r在Rn中的平均曲率積分M(n) l之間的關係。
- 凸體理論：
- 積分計算：
- 計算了Gr,n−r上的積分，這是關於凸體投影體積的積分，以及與凸體的邊界平均曲率積分相關的積分。
- 利用了Grassmann流形上的積分結果，得到了關於凸體Φ'r的邊界平均曲率積分的表達式。
- 定理證明：
- 證明了主要定理1.1和1.2，這些定理提供了常寬體外平行凸體的平均曲率積分的表達式。
- 通過詳細的數學推導，展示了不同情況下平均曲率積分的計算方法。
這篇論文的方法論分析結果表明，作者成功地利用了積分幾何和凸體理論的工具，推導出了常寬體外平行凸體的平均曲率積分的精確表達式，為理解這類幾何體的幾何特性提供了新的視角。
研究結論
術語表
這篇文章的術語表如下：
- 平均曲率積分（Mean curvature integrals）：在積分幾何中，平均曲率積分是一個基本概念，它連接了許多幾何不變量，如面積、球面高斯映射的度數、歐拉-泊松特徵數、高斯-克羅內克曲率等。
- 外平行凸體（Outer parallel convex body）：在距離ρ處的凸體K的外平行凸體是指所有以K的點為中心，半徑為ρ的實心球體的併集。
- 常寬凸體（Convex body of constant width）：在Rn中，任意兩個平行支撐超平面總是相隔一個常數h的凸體。
- 正交投影（Orthogonal projection）：將凸體Φ投影到r維線性子空間Lr[O]上，記作Φ'r。
- Minkowski 疑問積分（Minkowski quermassintegral）：描述凸體投影體積的平均值，是凸體理論中的一個強有力的工具。
- 高斯映射（Gauss map）：一種將凸體表面點映射到其法向量的映射。
- 高斯-克羅內克曲率（Gauss-Kronecker curvature）：由主曲率的乘積定義的曲率，是高斯映射的雅可比矩陣的行列式。
- 主曲率（Principal curvatures）：在凸體邊界上的某一點處，與主曲率方向相對應的曲率。
- 支撐超平面（Support hyperplane）：與凸體相切的超平面。
- 歐拉-泊松特徵數（Euler-Poincaré characteristic）：描述拓撲空間的簡單特徵數。
- 球面高斯映射的度數（Degree of the spherical Gauss map）：球面高斯映射的代數性質。
- Grassmann 流形（Grassmann manifold）：由所有r維線性子空間組成的流形。
- 外平行超曲面（Parallel hypersurface）：在距離ρ處的凸體K的外平行超曲面是指所有以K的邊界點為中心，半徑為ρ的球面的併集。
- 積分幾何（Integral Geometry）：研究幾何形狀的度量屬性，特別是通過積分方法。
- 凸超曲面（Convex hypersurface）：具有凸性的高維超曲面。
- C2 邊界（C2 boundary）：具有連續二階導數的光滑邊界。
- 支撐平面（Support plane）：與凸體相切的平面。
- 凸體（Convex body）：在歐幾里得空間中，包含連接其內任意兩點的線段的幾何體。
- 凸集（Convex set）：在歐幾里得空間中，包含連接其內任意兩點的線段的集合。
- 凸包（Convex hull）：一組點的最小凸集，包含這些點及其所有凸組合。
參考文獻
這篇文章的主要參考文獻如下：
- Santal´o, L. A. (1956). On the mean curvatures of flattened convex bodies. Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, 21, 189-194.
- 為本文提供了關於凸體平均曲率積分的基礎理論。
- Zhou, J., & Jiang, D. (2008). On mean curvatures of a parallel convex body. Acta. Math. Sci., 28, 489-494.
- 擴展了Santaló的工作，研究了外平行凸體的平均曲率積分。
- Jiang, D., & Zeng, C. (2012). On mean values of mean curvature integrals of a flattened parallel body. J. Math., 32, 431-438.
- 進一步探討了平均曲率積分的均值問題。
- Zeng, C., Ma, L., & Xia, Y. (2014). On mean curvature integrals of the outer parallel body of projection of a convex body. J. Inequal. Appl., 2014, 415.
- 研究了凸體投影的外平行體的平均曲率積分，為本文提供了相關理論支持。
- Santal´o, L. A. (1976). Integral Geometry and Geometric Probability. Addison-Wesley, London.
- 提供了積分幾何和幾何概率的基礎知識，為本文的研究提供了理論基礎。