WikiEdge:ArXiv-2310.02243

本文的基本信息如下：

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• 標題：Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time
• 中文標題：在多項式時間內學習任意溫度下的量子哈密頓量
• 發布日期：2023-10-03 17:50:26+00:00
• 作者：Ainesh Bakshi, Allen Liu, Ankur Moitra, Ewin Tang
• 分類：quant-ph, cs.DS, cs.LG
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2310.02243

摘要：我們研究了在已知逆溫度 $\beta>0$ 的情況下，給定其 Gibbs 狀態 $\rho = e^{-\beta H}/\textrm{tr}(e^{-\beta H})$ 的局部量子哈密頓量 $H$ 的學習問題。Anshu、Arunachalam、Kuwahara 和 Soleimanifar（arXiv:2004.07266）提出了一種算法，可以在多項式數量的 Gibbs 狀態 副本下，以精度 $\epsilon$ 學習 $n$ 個量子比特的哈密頓量，但該算法的運行時間是指數級的。獲得一個計算上高效的算法一直是一個主要的開放問題 Alhambra'22 (arXiv:2204.08349), Anshu, Arunachalam'22 (arXiv:2204.08349)，之前的工作僅在高溫 Haah, Kothari, Tang'21 (arXiv:2108.04842) 或可交換項的有限情況下解決了這個問題 Anshu, Arunachalam, Kuwahara, Soleimanifar'21。我們完全解決了這個問題，給出了一個多項式時間算法，可以從多項式數量的 Gibbs 狀態 副本中，以精度 $\epsilon$ 學習哈密頓量 $H$，適用於任何常數 $\beta > 0$。我們主要的技術貢獻是對指數函數的新平坦多項式近似，以及多變量標量多項式與嵌套對易子的轉換。這使我們能夠將哈密頓量學習表述為一個多項式系統。然後我們展示，解決這個多項式系統的低度和平方和鬆弛足以準確學習哈密頓量。

章節摘要

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本文研究了在已知逆溫度β > 0的情況下，如何從其吉布斯態ρ = e^(-βH) / tr(e^(-βH))的副本中學習局部量子哈密頓量H的問題。我們提出了一個多項式時間算法，可以在任何恆定的β > 0下，從多項式數量的吉布斯態副本中學習H到精度ε。我們的主要技術貢獻是一個新的對數多項式近似，以及多變量標量多項式和嵌套對易子之間的轉換。這使我們能夠將哈密頓量學習表述為一個多項式系統。然後我們展示了解決這個多項式系統的低度和平方和鬆弛足以準確學習哈密頓量。

研究背景

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這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 量子計算與量子系統控制的重要性：
   • 量子計算的發展引發了對量子系統規模和控制能力提升的極大興趣，這伴隨著對更好算法的需求，以表徵和驗證這些系統。
   • 量子系統的控制和驗證是實現量子技術應用的關鍵，例如在凝聚態物理中研究拓撲序和超導性等現象。
2. 哈密頓量學習問題：
   • 哈密頓量學習是量子系統控制中的一個核心計算任務，目標是從測量中估計物理屬性，即相互作用強度。
   • 該問題在低溫下特別重要，因為量子現象在零或近零溫度下最為顯著，而傳統的高溫級數展開在低溫下失敗。
3. 低溫下哈密頓量學習的挑戰：
   • 儘管哈密頓量學習的重要性，但如何從吉布斯態中學習哈密頓量在計算上並不被充分理解，尤其是在低溫下。
   • 先前的工作僅在高溫或具有對易項的有限情況下提供了快速算法，而在低溫下，所有已知方法都遭遇了失敗。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在量子系統控制和驗證領域中，特別是在低溫條件下，對有效哈密頓量學習算法的需求，以及現有方法的局限性。作者提出了一種新的多項式時間算法，能夠在任何恆定的反溫度下，從多項式數量的吉布斯態副本中學習哈密頓量。

問題與動機

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作者面對的是量子系統控制和驗證領域中，特別是在學習量子哈密頓量（Hamiltonian）的問題。具體問題包括：

1. • 計算複雜性：從吉布斯態（Gibbs state）中學習哈密頓量是一個計算上非常複雜的問題，尤其是在低溫（低β）情況下，現有的算法無法在多項式時間內完成。
   • 低溫學習問題：在低溫下，量子現象最為顯著，但這也是量子模擬器和量子設備驗證中最具挑戰性的部分，因為高溫下的算法無法直接應用於低溫情況。

研究方法

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這篇研究論文的工作方法主要圍繞量子哈密頓量學習問題展開，提出了一種在多項式時間內有效學習量子哈密頓量的算法。以下是這部分的主要內容：

1. 問題定義：
   • 定義了量子哈密頓量學習問題，即給定量子系統的吉布斯態（Gibbs state），目標是估計系統的哈密頓量，特別是其中的相互作用強度。
2. 算法設計：
   • 提出了一種新的多項式近似方法來近似指數函數，這是算法的關鍵技術貢獻之一。
   • 介紹了一種將多變量標量多項式與嵌套對易子（nested commutators）相互轉換的方法，使得哈密頓量學習問題可以被表述為一個多項式系統。
   • 展示了通過求解這個多項式系統的低度和平方和（sum-of-squares）鬆弛，可以準確學習哈密頓量。
3. 技術貢獻：
   • 開發了一種新的多項式近似方法，用於近似量子算符的演化，這對於處理量子系統的非局部相關性至關重要。
   • 引入了一種新的系統約束，通過測量稍微不那麼局部的可觀測量的期望值來驗證這些約束。
   • 利用和平方和框架（sum-of-squares framework）來設計一個有效的算法，該算法基於半定規劃（semidefinite programming）。
4. 算法分析：
   • 證明了所提出的算法在多項式時間內運行，並能夠以高概率準確估計哈密頓量的係數。
   • 討論了算法的可行性，即證明了多項式系統是可行的，並且任何可行解都必須接近真實的哈密頓量。
   • 通過和平方和證明（sum-of-squares proofs），展示了算法的識別能力，即能夠從多項式約束中準確地估計出哈密頓量的係數。

研究結論

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根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

1. 提出了一種新的量子哈密頓量學習算法：作者提出了一種新的算法，能夠在多項式時間內從多項式數量的吉布斯態樣本中學習局部量子哈密頓量H，對於任何常數β > 0，都能達到精度ε。
2. 算法的效率和精確度：該算法利用了新的多項式近似技術和多項式系統，能夠在多項式時間內準確估計哈密頓量的係數，即使在低溫（大β值）下也有效。
3. 解決了低溫下哈密頓量學習的難題：論文中提出的算法解決了在低溫下量子哈密頓量學習的問題，這是一個在量子計算和量子物理領域長期存在的難題。
4. 對量子系統驗證和理解的重要性：該算法對於理解和驗證量子系統，特別是在低溫下表現出的宏觀量子現象，提供了重要的工具。
5. 多項式近似和半定規劃的應用：論文展示了如何通過構建新的多項式近似和利用半定規劃來解決量子哈密頓量學習問題，為量子信息科學領域提供了新的視角和方法。

術語表

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這篇文章的術語表如下：

• 量子哈密頓量（Quantum Hamiltonian）：量子哈密頓量是量子系統中描述粒子間相互作用的算符，通常用來表示系統的總能量。
• 吉布斯態（Gibbs state）：吉布斯態是量子系統中在特定溫度下熱平衡時的量子態，由哈密頓量和溫度參數化。
• 局部算符（Local operator）：局部算符是指作用在量子系統的一部分子系統上的算符，其影響局限於系統的某個局部區域。
• 對數劃分函數（Log-partition function）：對數劃分函數是量子統計物理中用於描述系統熱性質的一個函數，與系統的自由能相關。
• 高斯態（Gaussian state）：高斯態是量子信息中一類具有高斯Wigner函數的量子態，常用於描述連續變量量子系統。
• 譜分解（Eigendecomposition）：譜分解是將算符分解為其特徵值和特徵向量的過程，是量子力學中分析算符性質的重要工具。
• 嵌套對易子（Nested commutator）：嵌套對易子是連續對易運算的結果，用於描述算符之間的非對易關係及其對量子態的影響。
• 多項式近似（Polynomial approximation）：多項式近似是用多項式函數來近似複雜函數的方法，常用於量子算法中簡化計算。
• 半定規劃（Semidefinite programming）：半定規劃是一種數學優化方法，用於求解線性矩陣不等式約束下的優化問題。
• 和平方和框架（Sum-of-squares framework）：和平方和框架是一種用於解決多項式優化問題的算法框架，通過將問題轉化為半定規劃問題來求解。