WikiEdge:ArXiv-2409.05791v1/methods

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這篇文獻的工作部分詳細介紹了如何開發和評估用於大規模參數依賴Hermitian矩陣特徵值問題的近似方法。以下是這部分的主要內容：

1. 特徵值近似方法：
   • 描述了一種基於將大型矩陣投影到適當小的子空間來近似最小特徵值的方法。這種方法在文獻中被廣泛採用。
2. 迭代子空間構建：
   • 提出了一種迭代方法來構建子空間，通過在參數值處添加參數依賴矩陣的特徵向量來減少誤差，這些參數值是代理誤差最大的地方。
3. 全球誤差最大化：
   • 與經典方法不同，如連續約束法，該方法在全球範圍內最大化代理誤差，而不是在離散和有限的參數集上。
4. 下界和上界：
   • 特別關注下界，這使得作者能夠正式證明框架在有限維和無限維設置中的全局收斂性。
5. 非Hermitian矩陣的最小奇異值近似：
   • 在第二部分中，作者專注於非Hermitian矩陣的最小奇異值的近似，並提出了另一個子空間框架來構建一個小的參數依賴非Hermitian矩陣，其最小奇異值近似原始大規模最小奇異值。
6. 數值實驗：
   • 進行了數值實驗，包括合成示例和來自參數化偏微分方程（PDE）的真實示例。數值實驗表明，所提出的技術能夠在確保最小特徵值/奇異值的近似誤差低於預設公差的同時，大幅減少大型參數依賴矩陣的規模。