WikiEdge:ArXiv速遞/2025-05-28

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摘要

  • 原文標題：A recursive method for computing singular solutions in corners with homogeneous Dirichlet-Robin boundary condition with power-law coefficient variation
  • 中文標題：具有冪律係數變化的齊次Dirichlet-Robin邊界條件下角點奇解計算的遞歸方法
  • 發布日期：2025-05-28 16:58:19+00:00
  • 作者：N. Piña-León, V. Mantič, S. Jiménez-Alfaro
  • 分類：math.AP
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22585v1

中文摘要：本研究提出了一種遞歸方法，用於計算角域中拉普拉斯方程的漸近解。該問題在一側滿足齊次Dirichlet邊界條件，另一側滿足具有冪律係數變化（指數為$\alpha\in \mathbb{R}$）的Robin邊界條件（D-R角問題）。該D-R角問題的漸近解表示為：主項（齊次Dirichlet-Neumann（D-N）或Dirichlet-Dirichlet（D-D）角問題的解）與有限或無限高階影子項級數（採用含冪對數項的調和基函數）之和。研究表明，基於遞歸非齊次D-N或D-D角問題的遞歸過程分別在$\alpha > -1$和$\alpha < -1$時收斂。對於臨界情況$\alpha=-1$，給出了漸近解的閉合表達式。推導並分析了若干典型D-R角問題的漸近解，其中兩個實例應用於線彈性斷裂力學中反平面III型橋接裂紋問題。本成果可推廣至熱傳導（熱阻條件）、聲學/靜電學（阻抗條件）及彈性/結構分析（Winkler彈簧邊界條件）等眾多物理與工程領域。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種徹底極簡的範疇論基礎，用於邏輯、語義和計算，其構建僅基於遞歸差異的單一生成公理。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構建自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層在句法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調H1的消失，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性和單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓子、以及所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一句法公理完全導出語義（模態、集合論、計算和元邏輯），在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：Monolithic framework to simulate fluid-structure interaction problems using geometric volume-of-fluid method
  • 中文標題：基於幾何流體體積法的流固耦合問題模擬統一框架
  • 發布日期：2025-05-28 22:47:33+00:00
  • 作者：Soham Prajapati, Ali Fakhreddine, Krishnan Mahesh
  • 分類：physics.flu-dyn, physics.comp-ph
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22920v1

中文摘要：摘要：我們開發了一個三維歐拉框架，用於在固定笛卡爾網格上採用幾何流體體積法(VOF)模擬流固耦合(FSI)問題。該耦合問題涉及不可壓縮流動與粘性超彈性固體。基於VOF的單連續統公式用於描述統一動量守恆方程，結合有限體積法(FVM)求解不可壓縮約束。在幾何VOF界面捕捉(IC)方法中，採用PLIC方法重構界面，並在方向分裂平流過程中使用拉格朗日顯式(LE)方法。為模擬固體的超彈性行為，我們採用Mooney-Rivlin材料模型，其中使用左柯西-格林變形張量(B)表徵歐拉網格上的固體變形，並採用五階WENO-Z重構方法處理B輸運方程中的平流項。通過多個基準問題驗證了方法的準確性。此外，為展示求解器處理湍流相互作用的能力，我們對具有柔性底壁和剛性頂壁的湍流槽道流動進行直接數值模擬(DNS)，觀測結果與既往實驗和數值研究高度吻合。詳細數值實驗表明：(i) 儘管存在跨單元邊界的界面不連續性和跨界面的應力不連續性，基於VOF/PLIC的FSI框架仍能提供穩定精確的解，在保持銳利界面的同時顯著減少數值偽影（如浮渣和寄生流）；(ii) 粗網格下VOF/PLIC方法的精度與更細網格下基於擴散IC方法的FSI精度相當。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與意義
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇異性。四元數-複數公式表明，湍流代表著四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該方法對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種基於遞歸差分單一生成公理的極簡範疇基礎，為邏輯、語義和計算構建全新框架。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展形成自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純靠自由么半群D*的子么半群即可分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：通過常層嵌入Set，並藉助遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層可從語法生成，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和消失的第一上同調H1，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們還構建了忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及 Sh(M) -> sSet， 連通可實現性與單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現完全上同調平凡性、無撓子結構，並能完全保守地粘合所有局部數據。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全導出模態語義、集合論、計算及元邏輯，在遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與意義
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表著四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候模擬的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種徹底極簡的範疇論基礎，用於邏輯、語義和計算，其構建僅基於遞歸差分這一單一生成公理。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構造出自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層在句法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調H1的消失，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性與單純形框架。與同倫類型論和經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全上同調平凡性、無撓子、以及所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一句法公理完全導出語義（模態、集合論、計算和元邏輯），在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

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  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與意義
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明：四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界，從而防止有限時間奇點的產生。四元數-複數公式表明湍流代表著四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，這為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候模擬的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種極簡的範疇論基礎框架，用於邏輯、語義和計算研究，其構建僅基於遞歸差分這一單一生成公理。從空記憶體M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構建了自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明了以下結果： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群即可分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化了ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層可從語法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調群H1的消失，Godel完備性定理和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們還構建了忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及 Sh(M) -> sSet， 連接可實現性與單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓元結構，並能完全保守地粘合所有局部數據。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全推導出模態語義、集合論、計算及元邏輯，在遞歸原理下統一了邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與意義
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的、統一的四元數-複數框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明了非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而將無粘性對流與粘性耦合效應分離。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點的出現。四元數-複數公式表明，湍流代表了四元數解析性的破壞，同時保持了幾何穩定性，為理解為什麼真實流體表現出有限的湍流行為而不是數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明，對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一的全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架在環境建模、天氣預報和氣候建模中的直接實際意義。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種基於遞歸差分單一生成公理的極簡範疇基礎，用於邏輯、語義和計算。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展構建自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明：

我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性與單純形框架。與HoTT及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現完全上同調平凡性、無撓子、且所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一句法公理完全導出語義（模態、集合論、計算及元邏輯），在遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與意義
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一的全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架，用於表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何呈現有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該方法對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種極度簡約的範疇論基礎架構，用於邏輯、語義和計算，其構建僅依賴於遞歸差分這一單一生成公理。從空記憶元M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構造出自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K, T, S4, S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層可從語法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調群H1的消失，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及 Sh(M) -> sSet， 連接可實現性與單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓子結構，並能完全保守地粘合所有局部數據。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全導出語義（模態、集合論、計算及元邏輯），在遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表著四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候模擬的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇異性。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種基於遞歸差分單一生成公理的極簡範疇基礎，用於邏輯、語義和計算。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展形成自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層可從語法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和消失的第一上同調H1，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性與單純形框架。與HoTT及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全上同調平凡性、無撓子、且所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全導出語義（模態、集合論、計算及元邏輯），在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明全局正則性。不可壓縮性約束自然地體現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何呈現有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候模擬的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表了四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種極簡的範疇論基礎，用於邏輯、語義和計算，其構建僅基於遞歸差分這一單一生成公理。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展，我們構建了自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層在句法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和一階上同調H1的消失，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性和單純形框架。與HoTT及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓子結構，並能完全保守地粘合所有局部數據。由此，我們實現了Lawvere的願景——從單一句法公理完全導出語義（模態、集合論、計算和元邏輯），在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：四元數-複數統一框架下的納維-斯托克斯方程：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇異性。四元數-複數公式表明，湍流代表了四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架在環境建模、天氣預報和氣候模擬中的直接實用價值。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘性對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維空間，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界性來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表著四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，這為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候模擬的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：Monolithic framework to simulate fluid-structure interaction problems using geometric volume-of-fluid method
  • 中文標題：基於幾何流體體積法的流固耦合問題模擬一體化框架
  • 發布日期：2025-05-28 22:47:33+00:00
  • 作者：Soham Prajapati, Ali Fakhreddine, Krishnan Mahesh
  • 分類：physics.flu-dyn, physics.comp-ph
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22920v1

中文摘要：我們開發了一個三維歐拉框架，用於在固定笛卡爾網格上使用幾何流體體積法(VOF)模擬流固耦合(FSI)問題。該耦合問題涉及不可壓縮流動和粘性超彈性固體。採用基於VOF的單連續體公式描述統一動量守恆方程，結合不可壓縮約束條件，並通過有限體積法(FVM)求解。在幾何VOF界面捕捉(IC)方法中，採用PLIC方法重構界面，並在方向分裂平流過程中使用拉格朗日顯式(LE)方法。為模擬固體的超彈性行為，我們採用Mooney-Rivlin材料模型，其中使用左柯西-格林變形張量(B)描述歐拉網格上的固體變形，並採用五階WENO-Z重構方法處理B輸運方程中的平流項。通過多個基準問題驗證了方法的準確性。此外，為展示求解器處理湍流相互作用的能力，我們對具有可變形柔性底壁和剛性頂壁的湍流通道流動進行了直接數值模擬(DNS)，觀測結果與先前的實驗和數值研究高度吻合。詳細數值實驗表明：(i)儘管界面在單元邊界處不連續且應力在界面處存在間斷，基於VOF/PLIC的FSI框架仍能提供穩定精確的解，在保持銳利界面的同時顯著減少數值偽影(如漂浮物和虛假流)；(ii)粗網格下基於VOF/PLIC的FSI方法精度，可與更細網格下基於擴散IC方法的FSI精度相媲美。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種極簡的範疇論基礎框架，用於邏輯、語義和計算研究，其構建僅基於遞歸差分這一單一生成公理。從空記憶元M0出發，通過D的迭代標記擴展形成自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯（K、T、S4、S5）。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層可從語法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和消失的第一上同調H1，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性和單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現出完全的上同調平凡性、無撓子結構，並能完全保守地粘合所有局部數據。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全導出語義（模態、集合論、計算及元邏輯），在遞歸原理下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘性對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表了四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一的全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇點。四元數-複數公式表明，湍流代表著四元數解析性的破壞同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文標題：遞歸差分範疇與拓撲斯理論普適性
  • 發布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分類：math.CT, cs.LO, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我們提出了一種基於遞歸差分單一生成公理的極簡範疇基礎，用於邏輯、語義和計算。從空記憶M0出發，通過D的迭代標記擴展構建自由範疇M及其層拓撲斯Sh(M)。我們證明： 模態完備性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓撲純粹通過自由么半群D*的子么半群分類所有標準模態邏輯(K、T、S4、S5)。 不動點表達性：無限分支上的內部μ演算完整實現了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC與集合建模：Sh(M)通過常層嵌入Set，並通過遞歸下降內化ZFC模型。 圖靈可編碼性：有限自動機和圖靈機層在句法層面產生，形成完全可機械化的內部語義。 內部元定理：通過完全下降和消失的第一上同調H1，Godel完備性和Lowenheim-Skolem定理在內部成立。 我們進一步構造忠實幾何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，及Sh(M) -> sSet， 連接可實現性和單純形框架。與同倫類型論及經典位點理論模型不同，Sh(M)展現完全上同調平凡性、無撓子、且所有局部數據的完全保守粘合。由此我們實現了Lawvere的願景——從單一語法公理完全導出語義(模態、集合論、計算及元邏輯)，在單一遞歸原則下統一邏輯、語義與計算。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：納維-斯托克斯方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v2

中文摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們將此框架擴展至三維空間，利用四元數並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮性約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，這從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。主要研究結果表明：四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界性，從而防止有限時間奇點的產生。四元數-複數公式表明湍流代表著四元數解析性的破壞，同時維持幾何穩定性，為理解真實流體為何呈現有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。該框架在大氣邊界層物理中的應用，展示了其在環境建模、天氣預報和氣候模擬中的直接實踐價值。

摘要

  • 原文標題：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文標題：不可壓縮Navier-Stokes方程的四元數-複數統一框架：新見解與啟示
  • 發布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分類：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我們提出了一種新穎的四元數-複數統一框架來表述不可壓縮Navier-Stokes方程，該框架揭示了粘性流體運動的幾何結構，並解決了克雷數學研究所的千禧年大獎難題。通過引入復坐標$z = x + iy$並將速度場表示為$F = u + iv$，我們證明非線性對流項可分解為$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，從而分離無粘對流與粘性耦合效應。我們使用四元數將該框架擴展到三維，並通過四元數代數固有的幾何約束證明了全局正則性。不可壓縮約束自然地表現為要求$\frac{\partial F}{\partial z}$為純虛數，從根本上將流體力學與複分析聯繫起來。我們的主要結果表明，四元數正交關係通過確保湍流能量級聯保持自然有界來防止有限時間奇異性。四元數-複數公式表明，湍流代表了四元數解析性的破壞，同時保持幾何穩定性，為理解真實流體為何表現出有限湍流行為而非數學奇點提供了嚴格的數學基礎。我們證明對於任何光滑初始數據，三維不可壓縮Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解決了克雷研究所的挑戰。在大氣邊界層物理中的應用展示了該框架對環境建模、天氣預報和氣候建模的直接實踐意義。

摘要

  • 原文標題：Monolithic framework to simulate fluid-structure interaction problems using geometric volume-of-fluid method
  • 中文標題：基於幾何流體體積法的流固耦合問題模擬統一框架
  • 發布日期：2025-05-28 22:47:33+00:00
  • 作者：Soham Prajapati, Ali Fakhreddine, Krishnan Mahesh
  • 分類：physics.flu-dyn, physics.comp-ph
  • 原文連結：http://arxiv.org/abs/2505.22920v1

中文摘要：摘要：我們開發了一個三維歐拉框架，用於在固定笛卡爾網格上使用幾何流體體積法(VOF)模擬流固耦合(FSI)問題。該耦合問題涉及不可壓縮流動和粘性超彈性固體。採用基於VOF的單連續介質公式描述統一動量守恆方程，結合不可壓縮約束條件，並通過有限體積法(FVM)求解。在幾何VOF界面捕捉(IC)方法中，採用PLIC方法重構界面，並在方向分裂平流過程中使用拉格朗日顯式(LE)方法。為模擬固體的超彈性行為，我們採用Mooney-Rivlin材料模型，其中使用左柯西-格林變形張量(B)描述歐拉網格上的固體變形，並採用五階WENO-Z重構方法處理B輸運方程中的平流項。通過多個基準問題驗證了方法的準確性。此外，為展示求解器處理湍流相互作用的能力，我們對具有可變形柔性底壁和剛性頂壁的湍流通道流動進行直接數值模擬(DNS)，觀測結果與先前的實驗和數值研究高度吻合。詳細數值實驗表明：(i)儘管界面在單元邊界處存在不連續性且應力在界面處不連續，基於VOF/PLIC的FSI框架仍能提供穩定精確的解，在保持銳利界面的同時顯著減少數值偽影(如漂浮物和虛假流)；(ii)基於VOF/PLIC的FSI方法在粗網格上的精度，與基於擴散IC方法的FSI方法在更細網格上的精度相當。

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