WikiEdge:ArXiv-1608.06354

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  • 標題：Meissner Polyhedra
  • 中文標題：邁斯納多面體
  • 發布日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
  • 作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
  • 分類：math.MG
  • 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2

摘要：在本文中，我們提出了一種具體的方法來構造三維常寬體。它們是由自對偶圖的特殊嵌入構造的。

問題與動機

作者的研究問題與動機包括：

  • 如何在三維空間中構造具有恆定寬度的立體？
  • 已知二維空間中存在多種構造恆定寬度曲線的方法，但高維類比的構造方法尚不明確，作者試圖填補這一空白。
  • 探索三維空間中是否存在具體的、有限的構造過程來生成具有恆定寬度的立體。
  • 研究特殊的自對偶圖嵌入如何用於構造三維恆定寬度立體。
  • 探討三維空間中Reuleaux多面體的性質，以及如何通過修改這些多面體的邊來構造具有恆定寬度的立體。
  • 驗證通過修改Reuleaux多面體的邊所得到的立體是否確實具有恆定的寬度。
  • 研究Meissner立體的性質，以及它們在三維空間中恆定寬度立體中的位置。
  • 探索三維恆定寬度立體的幾何特性，以及它們在離散幾何問題中的應用。
  • 研究三維Reuleaux多面體的自對偶圖的性質，以及如何通過這些圖的嵌入來構造Meissner立體。
  • 探索三維恆定寬度立體的體積最小化問題，以及Meissner立體在解決Blaschke-Lebesgue問題中的潛力。

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 常寬體和其性質的歷史回顧：
    • 常寬體和其性質已經被研究了數個世紀。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在研究中將它們稱作「orbiforms」，並對常寬曲線進行了研究，這些曲線的邊界可以表示為一個內擺線的漸開線。
    • 約一百年後，即1875年，弗朗茨·呂洛（Franz Reuleaux）在他的運動學書籍中提到了常寬曲線，並給出了一些例子。他還給出了一種可能是最簡單的非圓形常寬曲線的構造方法，這種曲線現在以他的名字命名。
    • 儘管我們知道許多構造常寬曲線的方法，但對於它們的高維類比來說，情況並非如此。
  2. 高維常寬體的構造方法：
    • 根據帕爾定理（Pál's theorem），我們知道在\( \mathbb{R}^n \)中直徑為1的任何子集都包含在一個常寬體中。
    • Sallee和Lachand與Outdet等人給出了非構造性的方法來找到它們，但除了兩個Meissner實體和明顯的旋轉體常寬體外，在文獻中沒有具體的常寬體的例子，也沒有具體的有限程序來構造一個大於2維的常寬體。
  3. 球面多面體的研究：
    • 本文的主要目標是研究有限多個全等球體相交的幾何特性。球面多面體是離散幾何中幾個重要問題的研究對象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理關於\( \mathbb{R}^3 \)中有限點集直徑的最大數量，Kneser-Poulsen猜想，有限點集的Borsuk猜想的證明，以及三角化球面多面體的Cauchy剛性定理的類比。
    • 球面多面體的邊界點可以是奇異的或規則的，奇異點又可以細分為0-奇異點和1-奇異點。
    • 球面多面體的面定義為\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
    • 一個三維球面多面體\( \Phi \)是標準的，如果任意兩個面的交集要麼是空的，要麼是\( G_\Phi \)的一個頂點或一條邊。
    • 一個三維球面多面體的圖\( G_\Phi \)是簡單、平面和3-連通的，並且滿足歐拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
  4. Reuleaux多面體的定義和性質：
    • Reuleaux多面體定義為滿足特定性質的凸體，例如存在一個集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一個標準球面多面體，且\( \Phi \)邊界的0-奇異點集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
    • 在二維中，Reuleaux多面體正是Reuleaux多邊形，而在更高維度中，Reuleaux多面體不是常寬體。
    • 三維Reuleaux多面體將是構造三維常寬體的關鍵。
    • 一個重要的性質是，對於\( X \)中的每一對點\( x, y \)，距離\( d(x, y) \leq h \)且當且僅當\( x \)在\( y \)的對偶面中時，\( d(x, y) = h \)。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了常寬體的歷史研究、高維常寬體的構造方法、球面多面體的幾何特性，以及Reuleaux多面體的定義和性質，為進一步研究三維常寬體提供了理論基礎和構造方法。

章節摘要

這篇論文是關於三維空間中恆寬體的構造方法的研究，主要內容包括：

  1. 引言和預備知識
    1. 介紹了恆寬體的概念，歷史上L. Euler和Franz Reuleaux對恆寬體的研究。
    2. 討論了恆寬體在不同維度的構造方法，以及文獻中缺乏具體的構造例子。
    3. 提出了本文的目標：構造三維恆寬體的具體例子。
  2. 球面多面體
    1. 研究了有限多個全等球體相交的幾何特性。
    2. 定義了球面多面體，並討論了其邊界點的分類。
    3. 提出了標準球面多面體的概念，並證明了其圖是簡單、平面和3-連通的。
  3. Reuleaux多面體
    1. 定義了Reuleaux多面體，並討論了其性質。
    2. 證明了Reuleaux多面體的圖是自對偶圖，並討論了其嵌入性質。
  4. Meissner多面體
    1. 描述了通過在Reuleaux多面體的自對偶圖的每對對偶邊上進行「手術」來構造Meissner多面體的過程。
    2. 提出了Meissner多面體的定義，並證明了通過上述手術得到的表面是恆寬體的邊界。
  5. 從Reuleaux多邊形構造恆寬體
    1. 描述了從二維Reuleaux多邊形構造三維恆寬體的具體步驟。
    2. 使用Voronoi圖和Delaunay三角剖分來構造Meissner多面體。
  6. 致謝
    1. 感謝CONACYT項目166306和PAPIITT-UNAM項目IN112614對本研究的支持。

研究方法

這篇論文通過構造特殊的自對偶圖嵌入，開發了一種具體的方法來構造三維的恆寬體。以下是該研究方法論的主要組成部分：

  1. 自對偶圖嵌入：
    • 利用自對偶圖的特殊嵌入來構造三維恆寬體。
    • 通過嵌入的自對偶圖的頂點和邊來定義恆寬體的邊界。
    • 引入自對偶圖的對偶面的概念，用於構造恆寬體的表面。
  2. 球面多面體研究：
    • 研究了有限多個全等球體的交集的幾何特性，即球面多面體。
    • 探討了球面多面體的邊界點的分類，包括奇異點和規則點。
    • 描述了球面多面體邊界的圖嵌入結構，包括頂點、邊和面。
  3. 三維恆寬體構造：
    • 通過在自對偶圖的每對對偶邊上執行「手術」來構造三維恆寬體。
    • 證明了通過這種構造方法得到的表面是恆寬體的邊界。
    • 利用了Pál定理來證明恆寬體的存在性。
  4. Reuleaux多面體定義：
    • 定義了Reuleaux多面體作為滿足特定條件的凸體。
    • 描述了Reuleaux多面體的自對偶圖屬性。
    • 證明了Reuleaux多面體的自對偶圖是簡單、平面和3-連通的。
  5. Meissner多面體構造：
    • 將Meissner多面體定義為通過在Reuleaux多面體的自對偶圖的每對對偶邊上執行「手術」得到的恆寬體。
    • 描述了Meissner多面體的構造過程，包括替換邊界上的弧段。
    • 證明了Meissner多面體的表面是恆寬體的邊界。
  6. 從Reuleaux多邊形構造恆寬體：
    • 利用Reuleaux多邊形的Voronoi圖和Delaunay三角剖分來構造三維恆寬體。
    • 描述了從Reuleaux多邊形到三維恆寬體的構造過程，包括確定恆寬體的底部。
    • 證明了通過這種構造方法得到的三維體是Meissner多面體。

這篇論文的方法論分析結果表明，通過自對偶圖的特殊嵌入和對Reuleaux多面體進行「手術」，可以構造出三維的恆寬體，這為理解和設計具有特定幾何特性的三維結構提供了一種新的方法。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. 三維常寬體的構造方法：論文提出了一種具體的方法來構造三維常寬體，這些常寬體是通過特殊嵌入的自對偶圖來構造的。
  2. 球多面體的幾何特性：研究了有限多個全等球的交集的幾何特性，這些球多面體是離散幾何中的重要對象。
  3. 三維球多面體的標準定義：證明了三維球多面體的標準定義下的圖是簡單、平面和3-連通的。
  4. 歐拉-泊松公式的應用：對於任何三維球多面體，使用歐拉-泊松公式計算其頂點、邊和面的關係。
  5. Reuleaux多面體的定義和性質：定義了Reuleaux多面體，並討論了其性質，包括它是如何通過嵌入自對偶圖來構造的。
  6. Meissner多面體的構造和性質：提出了通過在Reuleaux多面體的自對偶圖的每一對對偶邊上進行手術來構造Meissner多面體的方法，並證明了所得表面是常寬體的邊界。
  7. 從Reuleaux多邊形構造常寬體的有限過程：描述了一種使用Voronoi圖和Delaunay三角剖分從Reuleaux多邊形構造三維常寬體的有限過程。
  8. Meissner多面體與Meissner實體的關係：證明了每個Meissner多面體都是Meissner實體，並且可以近似任何三維常寬體。
  9. Blaschke-Lebesgue問題的最小化體積：討論了Blaschke-Lebesgue問題，並證明了最小化體積的凸體總是Meissner實體。

這些結論為理解和構造三維常寬體提供了重要的理論基礎和方法指導。

術語表

這篇文章的術語表如下：

  • 常寬體（Constant width bodies）：在三維空間中，從特殊嵌入的自對偶圖構造的具有恆定寬度的實體。
  • 球多面體（Ball polyhedra）：通過有限數量的全等球體相交形成的幾何形狀。
  • Reuleaux 多面體（Reuleaux polyhedra）：滿足特定條件的凸體，如由一組點定義的球體的交集，並且是標準球多面體。
  • Meissner 多面體（Meissner polyhedra）：通過在Reuleaux多面體的自對偶圖的每對對偶邊上進行手術得到的常寬體。
  • 自對偶圖（Self-dual graphs）：在三維空間中具有特殊嵌入的圖，其中每個頂點與其對偶面的距離等於一個常數。
  • 0-奇異點（0-singular points）：在球多面體邊界上，使得包含該點的球體集合中的所有球體都包含該點的點。
  • 1-奇異點（1-singular points）：在球多面體邊界上，使得包含該點的球體集合的交集中至少有兩個點並且位於某個大圓上的點。
  • 標準球多面體（Standard ball polyhedra）：如果兩個面的交集為空、GΦ的頂點或GΦ的單一邊，則稱三維球多面體Φ為標準球多面體。
  • Reuleaux 多邊形（Reuleaux polygons）：在二維空間中，由一組點定義的球體的交集形成的Reuleaux多面體。
  • Voronoi圖（Voronoi diagram）：對Reuleaux多邊形進行最遠點Voronoi圖劃分，將多邊形分解為包含相應圓弧的凸多邊形。
  • Delaunay 三角剖分（Delaunay triangulation）：Reuleaux多邊形的最遠點Delaunay三角剖分，形成一組子集，其凸包劃分了多邊形。
  • Blaschke-Lebesgue問題（Blaschke-Lebesgue problem）：在固定常寬的凸體類中最小化體積的問題。
  • Meissner 實體（Meissner solids）：具有常寬的三維實體，其邊界的平滑部分具有恆定的次要主曲率。
  • 球體（Spheres）：以特定點為中心，所有點到中心的距離相等的幾何形狀。
  • 對偶面（Dual faces）：在自對偶圖中，與頂點相對的面，由球體的交確定。
  • 奇異點（Singular points）：在球多面體邊界上，不符合規則點定義的點。
  • 規則點（Regular points）：在球多面體邊界上，滿足特定條件的點，如在某個球體的表面上。
  • 球面凸集（Spherically convex）：在球體表面上的凸集，即在球體表面上的凸形狀。
  • 二項式和公式（Euler-Poincaré formula）：對於任何具有v個頂點，e條邊和f個面的三維球多面體，公式為v - e + f = 2。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

  • [BF34] T. Bonnesen and W. Fenchel, Theorie der konvexen K¨orper, Springer-Verlag, 1934.
    • 為本文提供了凸體理論的基礎。
  • [CG83] G. D. Chakerian and H. Groemer, Convex bodies of constant width, pp. 49–96, Birkh¨auser Basel, Basel, 1983.
    • 提供了常寬凸體的系統性研究。
  • [KMP10] Y. S. Kupitz, H. Martini and M. A. Perles, Ball polytopes and the V´azsonyi problem, Acta Math. Hungar. 126 (2010), no. 1-2, 99–163.
    • 討論了球多面體和V´azsonyi問題，對本文的球多面體研究有重要影響。
  • [LRO07] T. Lachand-Robert and E. Oudet, Bodies of constant width in arbitrary dimension, Math. Nachr. 280 (2007), no. 7, 740–750.
    • 提供了任意維度下常寬體的討論，對本文的高維常寬體研究有貢獻。
  • [Mei18] E. Meissner, ¨Uber die durch regul¨are Polyeder nicht st¨utzbaren K¨orper, Vierteljahresschr. Naturfor. Ges. Z¨urich. 63 (1918), 544–551.
    • 討論了不能由規則多面體支撐的體，為本文提供了歷史背景和理論基礎。
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