WikiEdge:ArXiv-1910.10248

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  • 標題：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
  • 中文標題：在雙曲平面中的常寬體的唯一性結果
  • 發布日期：2019-10-22 21:59:04+00:00
  • 作者：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
  • 分類：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
  • 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1

摘要：遵循Santal\'{o}的方法，我們證明了在給定測地線族上，常寬體、常投影長度或常截面長度的圓盤有幾種特性。

問題與動機

作者的研究問題包括：

  • 在雙曲平面中，是否存在兩個不同的凸體具有相同的投影（或截面）？
  • 在雙曲平面中，一個具有恆定投影或截面的凸體是否一定是一個圓盤？
  • 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
  • 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的截面長度？
  • 在雙曲平面中，一個凸體的寬度與其在給定家族的測地線上的投影長度是否捕捉了不同的信息？
  • 在雙曲平面中，具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
  • 在雙曲平面中，如何定義一個凸體的支撐函數？
  • 在雙曲平面中，如何唯一地從投影長度重構一個凸體？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 幾何層析成像在雙曲平面中的應用：
    • 幾何層析成像是研究如何從低維信息（如截面或投影的面積）重建凸體的主要問題之一。
    • Aleksandrov定理表明，在歐幾里得空間中，一個原點對稱的凸體可以通過其投影的(n-1)維體積唯一確定。
    • 本文關注的是雙曲平面H2中的重建問題，特別是唯一性問題，即是否存在兩個具有相同投影（或截面）的凸體K和L。
  2. 雙曲平面中常寬體的研究：
    • 在雙曲空間中，常寬體的概念與歐幾里得空間不同，例如，雙曲平面中的常寬體不一定在每條線上都有恆定的投影長度。
    • 文獻中已經研究了雙曲空間中的常寬體，並建立了一些與歐幾里得結果相似的性質。
    • 本文通過研究雙曲平面中凸體的截面或投影，來研究常寬體的性質。
  3. 雙曲平面中凸體的截面和投影：
    • 研究了雙曲空間中凸體的截面問題，與Busemann-Petty問題相關。
    • 本文特別考慮了通過給定點的所有線上的截面或投影來研究常寬體。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在雙曲平面中，從低維信息重建凸體的問題，以及常寬體在雙曲幾何中的獨特性質和應用。

章節摘要

這篇論文是關於雙曲平面中恆寬體的唯一性研究，論文的主要內容可以概括如下：

  1. 引言
    1. 幾何層析學中的主要問題之一是從定量的低維信息（如截面或投影的面積）重建凸體。Aleksandrov定理是該領域的一個主要結果，證明了在Rn中，一個原點對稱的凸體可以通過其投影的(n-1)維體積唯一確定。
  1. 定義和符號
    1. 論文在雙曲平面H2的Poincaré圓盤模型和Poincaré上半平面模型中交替工作。定義了雙曲平面的一些基本事實，例如兩個點之間存在唯一的測地線，以及兩種模型都是保角的。
  1. 輔助引理
    1. 論文陳述了一些關於雙曲平面中凸體及其正交投影的基本度量事實。例如，一個凸體等於包含它的所有半平面的交集。
  1. 唯一重建結果
    1. 論文證明了圓盤在H2中可以通過以下任意兩個屬性唯一表徵：
    • 原點對稱性。
    • 恆寬。
    • 通過給定點的所有線上的恆定投影長度。
    • 通過給定點的所有線上的恆定截面長度。
  1. 附錄
    1. 論文展示了一個雙曲Reuleaux三角形具有恆寬但不是恆定的截面和投影長度。

研究方法

這篇論文通過在雙曲平面上研究凸體的幾何特性，探討了常寬體、常投影長度和常截面長度的性質。以下是該研究方法論的主要組成部分：

  1. 幾何特性定義與符號建立：
    • 在雙曲平面H2上定義了凸體、常寬體、常投影長度和常截面長度等基本概念。
    • 引入了雙曲平面的Poincaré圓盤模型和上半平面模型，以及相關的符號和術語。
  2. 凸體的幾何性質分析：
    • 利用雙曲幾何中的角度、垂直性和支撐雙曲線等性質，分析了凸體的邊界和支撐雙曲線。
    • 研究了常寬體的邊界上所有法雙曲線都是雙法線的性質。
    • 通過凸體的直徑和最大寬度之間的關係，探討了凸體的幾何特性。
  3. 輔助引理的證明：
    • 證明了凸體可以表示為包含它的所有半平面的交集。
    • 通過構造具體的例子，展示了在雙曲平面上，具有相同投影長度的非全等凸體的存在。
    • 利用Santaló引理，證明了常寬凸體的任意兩條法線在凸體內部相交。
  4. 主要定理的證明：
    • 證明了如果一個凸體是原點對稱且具有常寬，則它必然是一個圓盤。
    • 證明了如果一個凸體具有常寬，並且所有通過原點的雙曲線上的投影長度都相等，則它必然是一個圓盤。
    • 探討了在雙曲平面上，常寬體不一定具有常投影長度的性質，這與歐幾里得平面的情況不同。
    • 通過反例，展示了即使在雙曲平面上，具有常寬的凸體也可能不具有常投影長度。
  5. 雙曲平面上的特殊構造：
    • 構造了具有常寬但不同投影長度的雙曲Reuleaux三角形。
    • 通過計算，展示了雙曲Reuleaux三角形的寬度和在特定雙曲線上的投影長度。
    • 討論了如何通過微擾圓盤構造具有常寬但投影長度不恆定的C1光滑體。

這篇論文的方法論分析結果表明，在雙曲平面上，圓盤是唯一滿足常寬和常投影長度的凸體，這一發現對於理解雙曲幾何中的凸體特性具有重要意義。

研究結論

根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. 雙曲平面中常寬體的唯一性結果：論文通過Santaló的方法證明了在雙曲平面中，滿足常寬、常投影長度或給定族的測地線上的常截面長度的凸體的多個特徵化。
    1. 定理 4.1：如果一個C1光滑的凸體K是原點對稱的並且具有常寬，則K是一個圓盤。
    2. 定理 4.4：如果一個C1光滑的凸體K包含原點在其內部，並且所有通過原點的測地線上的投影長度都是常數，則K是一個圓盤。
    3. 推論 4.5：如果一個凸體K具有常寬，包含原點在其內部，並且所有通過H0的截面長度都是常數，則K是一個圓盤。
    4. 定理 4.7：如果一個凸體K包含原點在其內部，並且所有通過H0的測地線的截面和投影長度都是常數，則K是一個圓盤。
  2. 雙曲投影與歐幾里得投影的區別：論文指出，在雙曲平面中，常寬體的投影長度和寬度是兩個不同的信息來源，這與歐幾里得平面不同。
    1. 命題 4.2：證明了常寬體的最大投影長度等於其寬度，並且僅在體的法線場中達到。
    2. 命題 4.8：展示了知道一個凸體在Hp中的正交和非正交投影的長度可以唯一確定該體。
  3. 雙曲Reuleaux三角形的常寬性質：論文展示了一個具有常寬但非恆定截面和投影長度的雙曲Reuleaux三角形。

這些結論為理解雙曲平面中凸體的幾何特性提供了重要的見解，並且指出了圓盤在這些特性中的獨特地位。

術語表

這篇文章的術語表如下：

  • 凸體（Convex body）：在雙曲平面中，一個凸體是指其邊界不能被任何一條測地線相交超過兩點的緊緻集合。
  • 雙曲平面（Hyperbolic plane）：雙曲平面是一種非歐幾里得幾何平面，其上三角形內角和大於180度。
  • 測地線（Geodesic）：在雙曲平面中，測地線是連接兩點的最短路徑，通常表現為圓弧。
  • 常寬體（Body of constant width）：如果一個凸體在雙曲平面中對於所有通過某點的測地線都有相同的投影長度，則稱其為常寬體。
  • 投影長度（Projection lengths）：一個凸體在特定測地線上的投影長度是指該凸體在該測地線上的投影所覆蓋的長度。
  • 支持測地線（Supporting geodesic）：如果一條測地線與凸體的邊界僅有一個公共點或包含邊界的一段弧，則稱這條測地線為該凸體的支持測地線。
  • 法測地線（Normal geodesic）：對於凸體邊界上的一點，法測地線是垂直於該點處邊界的測地線。
  • 雙法測地線（Double normal geodesic）：如果一條測地線在兩點處垂直相交凸體的邊界，則稱這條測地線為雙法測地線。
  • 法向場（Normal field）：法向場是指所有法測地線的集合。
  • 雙曲投影（Hyperbolic projection）：在雙曲平面中，一個凸體在一條測地線上的投影定義為與該測地線相交的凸體邊界點的集合。
  • 起源對稱（Origin-symmetric）：如果一個凸體對於每個點x，其相反點-x也在該凸體中，則稱該凸體為起源對稱。
  • 直徑（Diameter）：凸體中任意兩點間的最大距離稱為該凸體的直徑。
  • 寬度（Width）：在雙曲平面中，一個光滑凸體的寬度定義為其在法測地線上的投影長度。
  • 等弦點（Equichordal point）：如果一個凸體通過某點的所有測地線交點長度相等，則稱該點為等弦點。
  • C1-光滑（C1-smooth）：如果一個凸體的邊界是連續可微的，則稱該凸體為C1-光滑。
  • 雙曲Reuleaux三角形（Hyperbolic Reuleaux triangle）：由三個等距點出發，每個點為中心畫圓，形成的三角形，具有常寬特性。
  • 雙曲半徑（Hyperbolic radius）：在雙曲幾何中，圓的半徑定義為圓心到圓上任意一點的距離。
  • 雙曲中心（Hyperbolic center）：在雙曲幾何中，圓的中心定義為圓上所有點到該點距離相等的點。
  • 雙曲圓（Hyperbolic circle）：在雙曲平面中，以一點為中心，所有到該點距離相等的點的集合。
  • 雙曲面積（Hyperbolic area）：在雙曲平面中，一個區域的面積可以通過積分測地線長度來計算。

參考文獻

這篇文章的主要參考文獻如下：

  • Aleksandrov, A. D. (2005). "Convex Polyhedra", Springer.
    • 為本文提供了凸體在歐幾里得空間中的基本理論。
  • Berger, M. (2009). "Geometry", Springer Universitext.
    • 提供了雙曲幾何的基礎知識和模型。
  • Gallego, E., Reventós, A., Solanes, G., & Teufel, E. (2008). "Width of Convex Bodies in Spaces of Constant Curvature", Manuscripta Mathematica, 126(1), 115–134.
    • 探討了常曲率空間中凸體的寬度，為本文提供了理論基礎。
  • Santaló, L. A. (1945). "Note on Convex Curves on the Hyperbolic Plane", Bulletin of the American Mathematical Society, 51, 405–412.
    • 為本文提供了雙曲平面上凸曲線的重要性質。
  • Yaskin, V. (2006). "The Busemann-Petty Problem in Hyperbolic and Spherical Spaces", Advances in Mathematics, 203(2), 537–553.
    • 探討了雙曲和球面空間中的Busemann-Petty問題，對本文的研究有重要影響。
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