WikiEdge:ArXiv-2406.11045/methods

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这篇论文的工作方法主要围绕开发和评估一种基于Kolmogorov-Arnold网络（KAN）的物理信息神经网络（KINN），用于解决正向和逆向问题。以下是这部分的主要内容：

  1. Kolmogorov-Arnold网络（KAN）：
    • 引入了KAN，这是一种新型的神经网络，它基于Kolmogorov-Arnold表示定理构建，能够通过有限数量的单变量函数的组合来近似多变量连续函数。
  2. 物理信息神经网络（PINNs）：
    • 讨论了PINNs在解决偏微分方程（PDEs）中的应用，包括强形式、能量形式和逆形式的PINNs。
  3. Kolmogorov-Arnold-Informed神经网络（KINN）：
    • 提出了KINN，这是基于KAN的PINNs的变体，用于解决计算固体力学中的PDEs。KINN在不同的PDE形式上进行了系统比较，包括多尺度、奇异性、应力集中、非线性超弹性、异质性和复杂几何问题。
  4. 数值实验：
    • 通过一系列数值实验，比较了KAN和传统的多层感知器（MLP）在解决PDEs方面的准确性和收敛速度。实验结果表明，KINN在多数情况下比MLP具有更高的准确性和更快的收敛速度。
  5. 方法论讨论：
    • 论文还从神经切线核（NTK）的角度对KAN进行了系统分析，发现KAN的频谱偏差远小于MLP，使其更适合解决高低频混合问题。
    • 讨论了KAN在解决具有复杂几何形状的PDE问题时的局限性，并提出了可能的改进方向，如引入有限元方法中的网格调整技术和概念。
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