WikiEdge:ArXiv-2406.11045/methods

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這篇論文的工作方法主要圍繞開發和評估一種基於Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）的物理信息神經網絡（KINN），用於解決正向和逆向問題。以下是這部分的主要內容：

1. Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）：
   • 引入了KAN，這是一種新型的神經網絡，它基於Kolmogorov-Arnold表示定理構建，能夠通過有限數量的單變量函數的組合來近似多變量連續函數。
2. 物理信息神經網絡（PINNs）：
   • 討論了PINNs在解決偏微分方程（PDEs）中的應用，包括強形式、能量形式和逆形式的PINNs。
3. Kolmogorov-Arnold-Informed神經網絡（KINN）：
   • 提出了KINN，這是基於KAN的PINNs的變體，用於解決計算固體力學中的PDEs。KINN在不同的PDE形式上進行了系統比較，包括多尺度、奇異性、應力集中、非線性超彈性、異質性和複雜幾何問題。
4. 數值實驗：
   • 通過一系列數值實驗，比較了KAN和傳統的多層感知器（MLP）在解決PDEs方面的準確性和收斂速度。實驗結果表明，KINN在多數情況下比MLP具有更高的準確性和更快的收斂速度。
5. 方法論討論：
   • 論文還從神經切線核（NTK）的角度對KAN進行了系統分析，發現KAN的頻譜偏差遠小於MLP，使其更適合解決高低頻混合問題。
   • 討論了KAN在解決具有複雜幾何形狀的PDE問題時的局限性，並提出了可能的改進方向，如引入有限元方法中的網格調整技術和概念。