WikiEdge:ArXiv-2406.11045

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本文的基本信息如下：

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  • 標題：Kolmogorov Arnold Informed neural network: A physics-informed deep learning framework for solving forward and inverse problems based on Kolmogorov Arnold Networks
  • 中文標題：科爾莫哥洛夫-阿諾德信息神經網絡：基於科爾莫哥洛夫-阿諾德網絡的物理信息深度學習框架，用於解決正向和逆向問題
  • 發布日期：2024-06-16 19:07:06+00:00
  • 作者：Yizheng Wang, Jia Sun, Jinshuai Bai, Cosmin Anitescu, Mohammad Sadegh Eshaghi, Xiaoying Zhuang, Timon Rabczuk, Yinghua Liu
  • 分類：cs.LG, cs.NA, math.NA
  • 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2406.11045

摘要：人工智能在偏微分方程（PDEs）領域引起了廣泛關注，特別是隨着物理信息神經網絡（PINNs）的出現。最近出現的Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）表明，有可能重新審視並增強之前基於多層感知器（MLP）的PINNs。與MLP相比，KAN提供了可解釋性並且需要更少的參數。PDE可以用多種形式描述，如強形式、能量形式和逆形式。儘管這些形式在數學上是等價的，但在計算上並不等價，因此探索不同的PDE形式在計算物理中具有重要意義。因此，我們提出基於KAN而非MLP的不同PDE形式，稱為Kolmogorov-Arnold-信息神經網絡（KINN），用於解決正向和逆向問題。我們在多種PDE的數值示例中系統地比較了MLP和KAN，包括多尺度、奇異性、應力集中、非線性超彈性、非均勻和複雜幾何問題。我們的結果表明，KINN在計算固體力學中的眾多PDE的準確性和收斂速度方面顯著優於MLP，除了複雜幾何問題。這突顯了KINN在AI解決PDE方面更高效和更準確的潛力。

章節摘要

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這篇論文提出了一種基於Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）的物理信息神經網絡（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）新框架——Kolmogorov-Arnold-Informed Neural Network（KINN），用於解決正向和逆向問題。KAN相比於傳統的多層感知器（MLP）網絡，具有更少的參數和更好的可解釋性。論文首先介紹了物理信息神經網絡（PINNs）在解決偏微分方程（PDEs）方面的進展，並討論了PINNs在強形式、能量形式和逆形式的不同表達方式。接着，論文詳細闡述了KAN的工作原理，包括其激活函數的構造和優化過程。通過一系列數值實驗，論文展示了KINN在解決多尺度、奇異性、應力集中、非線性超彈性、異質性和複雜幾何問題方面的性能，特別是在計算固體力學中的偏微分方程時，KINN在準確性和收斂速度方面顯著優於MLP。最後，論文總結了KINN的優勢和局限性，並對未來的研究方向提出了建議。

研究背景

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這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）在物理現象建模中的重要性：
    • 許多自然和工程系統中的物理現象都依賴於PDEs進行建模，因此求解PDEs對於理解這些系統的行為至關重要。
    • 當邊界條件和初始條件變得複雜時，PDEs的精確解通常難以獲得，這就需要採用各種數值方法來獲得近似解。
  2. 人工智能（Artificial Intelligence, AI）在PDEs求解中的應用：
  3. Kolmogorov-Arnold Networks (KAN)在PINNs中的潛在優勢：
    • KAN提供了一種新的網絡結構，與多層感知器（MLP）相比，KAN具有更好的可解釋性和更少的參數需求。
    • KAN基於Kolmogorov-Arnold表示定理，理論上可以更有效地近似多變量連續函數。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在求解PDEs問題中，利用基於KAN的深度學習框架（即Kolmogorov-Arnold-Informed Neural Network，KINN）來提高求解效率和準確性的潛力。

問題與動機

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作者面對的是解決偏微分方程（PDEs）問題中的挑戰，特別是在計算固體力學中，如何提高求解PDEs的準確性和收斂速度。具體問題包括：

研究方法

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這篇論文的工作方法主要圍繞開發和評估一種基於Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）的物理信息神經網絡（KINN），用於解決正向和逆向問題。以下是這部分的主要內容：

  1. Kolmogorov-Arnold網絡（KAN）：
    • 引入了KAN，這是一種新型的神經網絡，它基於Kolmogorov-Arnold表示定理構建，能夠通過有限數量的單變量函數的組合來近似多變量連續函數。
  2. 物理信息神經網絡（PINNs）：
    • 討論了PINNs在解決偏微分方程（PDEs）中的應用，包括強形式、能量形式和逆形式的PINNs。
  3. Kolmogorov-Arnold-Informed神經網絡（KINN）：
    • 提出了KINN，這是基於KAN的PINNs的變體，用於解決計算固體力學中的PDEs。KINN在不同的PDE形式上進行了系統比較，包括多尺度、奇異性、應力集中、非線性超彈性、異質性和複雜幾何問題。
  4. 數值實驗：
    • 通過一系列數值實驗，比較了KAN和傳統的多層感知器（MLP）在解決PDEs方面的準確性和收斂速度。實驗結果表明，KINN在多數情況下比MLP具有更高的準確性和更快的收斂速度。
  5. 方法論討論：
    • 論文還從神經切線核（NTK）的角度對KAN進行了系統分析，發現KAN的頻譜偏差遠小於MLP，使其更適合解決高低頻混合問題。
    • 討論了KAN在解決具有複雜幾何形狀的PDE問題時的局限性，並提出了可能的改進方向，如引入有限元方法中的網格調整技術和概念。

研究結論

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根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. KAN在解決PDE問題中的潛力：Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) 顯示出在解決偏微分方程（PDEs）問題上相較於多層感知器（MLP）具有更高的準確性和收斂速度，尤其是在奇異性問題、應力集中問題、非線性超彈性問題和異質性問題上。
  2. KAN的效率問題：儘管KAN在多數PDE問題上表現出更高的準確性，但目前其效率低於MLP，這是由於KAN算法缺乏特定的優化。
  3. KAN在複雜幾何問題上的局限性：KAN在處理複雜幾何問題時表現不佳，主要是因為高維中的KAN網格範圍是矩形的，更適合規則幾何形狀。
  4. KAN在異質性問題上的優勢：在異質性問題上，KAN顯示出比MLP更強的擬合能力，尤其是在目標函數具有強烈不連續性（平滑性差）的情況下。
  5. KAN在逆問題中的應用潛力：在逆問題中，KAN在處理高度複雜的問題場方面顯著優於MLP，顯示出在非常複雜的逆問題中具有顯著優勢。
  6. KAN的未來研究方向：未來的研究可以探索將有限元方法中的網格調整技術整合到KAN中，以及使用更有效的基函數或優化的B樣條計算方法來提高KAN的效率。

這些結論展示了KAN作為一種新的AI for PDEs工具的潛力，尤其是在解決具有挑戰性的PDE問題方面，為計算力學領域提供了一種有價值的解決方案。

術語表

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這篇文章的術語表如下：

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