WikiEdge:ArXiv-2408.17372v1/abs
- 標題：Partial Blow-up Phenomena in the $SU(3)$ Toda System on Riemann Surfaces
- 中文標題：部分爆破現象在黎曼曲面上的 $SU(3)$ Toda 系統
- 發佈日期：2024-08-30T16:06:08+00:00
- 作者：Zhengni Hu, Mohameden Ahmedou, Thomas Bartsch
- 分類：math.AP, 35J57, 58J05
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2408.17372v1
摘要：這項工作研究了在具有光滑邊界的緊緻黎曼曲面上的 $SU(3)$ Toda 系統的部分爆破現象。我們考慮以下帶有 Neumann 邊界條件的耦合 Liouville 系統： $$ -\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$ -\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 具有邊界條件 $ \partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{在} \, \partial \Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一個具有內部 $\mathring\Sigma$ 和光滑邊界 $\partial\Sigma$ 的緊緻黎曼曲面，$\rho_i$ 是一個非負參數，$V_i$ 是一個光滑正函數，對於 $i=1,2$。我們通過 Lyapunov-Schmidt 減法和變分方法構造了一族爆破解，其中一個分量從上方保持均勻有界，而另一個分量在內部和邊界的預定數量的點處表現出部分爆破。這一構造基於所謂影子系統的非退化解的存在。此外，我們在三種情況下建立了部分爆破解的存在性：(i) 對於任何足夠小的 $\rho_2>0$；(ii) 對於一般的 $V_1, V_2$ 和任何 $\rho_2\in (0,2\pi)$；(iii) 對於一般的 $V_1, V_2$，Euler 特徵 $\chi(\Sigma)<1$ 和任何 $\rho_2\in (2\pi,+\infty)\setminus 2\pi \mathbb{N}_+$。