WikiEdge:ArXiv-2409.02012v1/conclusion

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根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

1. (s, p)-調和函數的梯度正則性：證明了對於區間 (1, 2] 中的 p 和 (0, 1) 中的 s，局部有界的 (s, p)-調和函數 u 在定義域 Ω 內是弱可微的，並且其弱梯度在任意 q ≥ 1 的冪下局部可積。因此，(s, p)-調和函數在 Ω 內對於任意的 Hölder 指數 γ ∈ (0, 1) 都是局部 Hölder 連續的。
2. 梯度的分數階可微性：(s, p)-調和函數的弱梯度具有一定的分數階可微性，即對於任意 q ∈ [2, ∞) 和 α ∈ (0, max{sp/q, 1−(1−s)p/(q−1)})，有 ∇u ∈ W α,q loc(Ω)。
3. 穩定性和極限行為：所有估計在 s 接近 1 時是穩定的，並且當 p 接近 1 時，常數項會趨向無窮大。特別是，當 q = 2 且 s 接近 1 時，可以形式地恢復已知的 p-調和函數的 W2,2-正則性。

這些結論為理解 (s, p)-調和函數的局部正則性提供了深入的洞見，並且為進一步研究非局部算子的正則性理論奠定了基礎。