WikiEdge:ArXiv-2409.02012v1/methods

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這篇論文的工作部分詳細介紹了局部正則性質的研究方法，特別是針對分數階p-Laplace方程的解。以下是這部分的主要內容：

1. 分數階p-Laplace方程：
   • 研究了分數階p-Laplace方程的局部弱解，即(s, p)-調和函數，其中s ∈ (0, 1)且p ∈ (1, 2]。
2. 弱梯度的局部可積性：
   • 證明了(s, p)-調和函數的弱梯度不僅存在，而且對於任意的q ≥ 1都是局部可積的。
3. Hölder連續性：
   • 展示了(s, p)-調和函數是局部Hölder連續的，對於任意的Hölder指數γ ∈ (0, 1)。
4. 分數階微分性：
   • 研究了弱梯度的分數階微分性，證明了梯度在任意Lq尺度下具有分數階微分性。
5. 穩定性分析：
   • 所有估計在s接近1時都是穩定的，並且當s = 1時，能夠形式上恢復已知的p-調和函數的局部W2,2-正則性。
6. 迭代方案：
   • 通過迭代方案提高了不同性和積分性，使用了Moser型迭代來改進梯度的積分性。
7. 差異商技術：
   • 應用了差異商技術來分析(s, p)-調和函數的正則性屬性，這是一種在離散水平上微分方程的方法。
8. 文獻回顧：
   • 對分數階微分方程的正則性理論進行了文獻回顧，討論了線性分數階微分算子的研究進展。
9. 方法論討論：
   • 討論了在分數階設置中實現差異商技術時遇到的新挑戰，以及如何平衡局部微分性和積分性。