WikiEdge:ArXiv-2409.02012v1/summary

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本文研究了分數階p-Laplace方程的局部正則性，即s ∈ (0, 1)和p ∈ (1, 2]時的(s, p)-調和函數。主要結果表明，(s, p)-調和函數在任意球BR內是弱可微的，並且其弱梯度在Lq(Ω)中局部可積，對於任意q ≥ 1。因此，(s, p)-調和函數在Ω中是局部Hölder連續的，對於任意Hölder指數γ ∈ (0, 1)。此外，(s, p)-調和函數的弱梯度具有一定的分數階可微性。所有估計在s接近1時都是穩定的，並且當s = 1時，可以正式恢復已知的p-調和函數的局部W2,2-估計。本文還回顧了相關文獻，並介紹了研究的動機和方法。通過一系列的引理和定理，本文詳細證明了(s, p)-調和函數的梯度正則性，並討論了其在分數階Sobolev空間中的嵌入性。最後，本文還討論了梯度的分數階可微性，並給出了相關的定量估計。