WikiEdge:ArXiv-2409.02707v1

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本文的基本信息如下：

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  • 標題：Search and state transfer between hubs by quantum walks
  • 中文標題：量子行走在樞紐之間的搜索和狀態傳輸
  • 發布日期：2024-09-04T13:43:23+00:00
  • 作者：Stanislav Skoupy, Martin Stefanak
  • 分類：quant-ph
  • 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2409.02707v1

摘要：在這篇論文中，我們研究了在其他任意連接圖上，中心節點（即完全連接的頂點）之間的搜索和狀態傳輸。受到Razzoli等人（J. Phys. A: Math. Theor. 55, 265303 (2022)）關於中心節點在連續時間量子行走和空間搜索中的普遍性的最新結果的啟發，我們將研究擴展到狀態傳輸，並且也考慮了離散時間的情況。我們表明，連續時間量子行走允許在多個中心節點之間進行完美的狀態傳輸，前提是發送者和接收者的數量接近。轉向離散時間的情況，我們展示了只要初始狀態在局部上進行修改以考慮每個頂點的度數，搜索中心節點是成功的。關於使用離散時間量子行走的狀態傳輸，我們證明在單個發送者和單個接收者之間可以在同一運行時間內傳輸兩個正交狀態。因此，可以在兩個中心節點之間傳輸一個量子比特的任意量子狀態。此外，如果發送者和接收者知道彼此的位置，還可以傳輸另一個線性獨立的狀態，從而允許交換一個量子三態。最後，我們考慮多個發送者和接收者之間的傳輸情況。在這種情況下，我們無法傳輸特定的量子狀態。然而，量子行走者可以在兩種情況下以高概率被傳輸——要麼發送者和接收者的數量相似，這與連續時間量子行走的情況相同，要麼接收者的數量遠大於發送者的數量。我們的研究基於利用各自演化的不變子空間的維度約簡，以及在適當選擇循環權重的情況下，問題可以簡化為帶有循環的完全圖。

章節摘要

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這篇論文詳細研究了在任意連接的圖上，通過量子行走實現多個中心（hubs）之間的搜索和狀態傳輸。主要內容包括：

  1. 引言：介紹了量子行走在空間搜索和狀態傳輸中的應用，這些是量子計算和量子通信網絡的基礎任務。特別關注了中心頂點（hubs）的量子行走，這些頂點在圖中是完全連接的。
  2. 連續時間量子行走中中心之間的狀態傳輸：分析了當發送者和接收者數量接近時，連續時間量子行走可以實現多個中心之間的完美狀態傳輸。
  3. 離散時間量子行走搜索中心：探討了在離散時間量子行走中，通過適當調整初始狀態，可以成功搜索標記的中心。
  4. 通過離散時間量子行走在兩個中心之間傳輸狀態：展示了在兩個中心之間可以通過離散時間量子行走傳輸兩個正交狀態，從而實現任意量子比特狀態的傳輸。如果發送者和接收者知道彼此的位置，還可以傳輸第三個線性獨立的態，實現qutrit狀態的交換。
  5. 多個發送者和接收者之間的狀態傳輸：在多個發送者和接收者的情況下，雖然不能傳輸特定的量子態，但量子行走者可以在兩種情況下以高概率被傳輸：發送者和接收者數量相似，或者接收者數量顯著多於發送者。
  6. 結論與展望：總結了通過量子行走在中心之間進行搜索和狀態傳輸的可能性，並提出了未來研究的方向，包括在非完全連接的頂點之間實現狀態傳輸。

研究背景

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這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

  1. 量子行走（Quantum Walks）的應用前景：
  2. 量子搜索算法的優化：
  3. 量子通信網絡中的狀態傳輸：

綜上所述，這篇文獻的背景強調了量子行走在量子信息處理中的應用潛力，特別是在量子搜索和狀態傳輸方面的研究進展和挑戰。作者通過研究量子行走在特定圖結構（如中心頂點或全連接子圖）上的行為，探索了提高量子搜索和狀態傳輸效率的新方法。

問題與動機

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作者面對的領域研究問題包括：

    • 如何在連續時間量子行走中實現多個樞紐之間的完美狀態傳輸，尤其是當發送者和接收者數量相近時。
    • 在離散時間量子行走中，如何通過局部修改初始狀態來成功搜索樞紐，以及如何實現在相同運行時間內從一個發送者到一個接收者的兩個正交狀態的傳輸。
    • 在已知發送者和接收者位置的情況下，如何利用離散時間量子行走實現量子比特狀態的傳輸，以及是否可以擴展到更高維度的量子態傳輸。
    • 在多發送者和多接收者的情況下，如何通過量子行走實現高概率的狀態傳輸，特別是在發送者和接收者數量不同時。

研究方法

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這篇論文的工作部分詳細探討了量子行走在圖上進行搜索和狀態傳輸的方法。以下是這部分的主要內容：

  1. 量子行走的動機與背景：
    • 論文基於Razzoli等人在連續時間量子行走和空間搜索中關於中心頂點普遍性的最新結果，擴展了對狀態傳輸和離散時間情況的研究。
  2. 連續時間量子行走：
    • 展示了在連續時間量子行走中，如果發送者和接收者的數量相近，可以實現多個中心頂點之間的完美狀態傳輸。
  3. 離散時間量子行走：
    • 證明了通過對每個頂點的初始狀態進行局部修改以考慮其度，可以成功地搜索中心頂點。
    • 展示了在離散時間量子行走中，可以在相同運行時間內從一個單一發送者向單一接收者傳輸兩個正交狀態，從而在兩個中心頂點之間傳輸任意量子比特狀態。
  4. 多發送者和多接收者的狀態傳輸：
    • 考慮了多個發送者和接收者之間的狀態傳輸。雖然不能傳輸特定的量子態，但在兩種情況下量子行走者可以以高概率被傳輸：發送者和接收者數量相近，或者接收者數量顯著多於發送者。
  5. 方法論：
    • 研究基於利用相應演化的不變子空間進行維度降低，以及通過適當選擇環權重將問題簡化為帶有環的完全圖。
    • 詳細討論了在不同情況下，如單發送者與單接收者以及多發送者與多接收者時，狀態傳輸的保真度和時間演化。

研究結論

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根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：

  1. 連續時間和離散時間量子行走在搜索和狀態轉移方面的應用：研究表明，連續時間和離散時間量子行走都可用於在任意圖上進行搜索和狀態轉移，這得益於通過適當選擇迴路權重，可以將模型映射到帶有迴路的完全圖。
  2. 連續時間量子行走的狀態轉移：在連續時間量子行走中，當發送者的數量S接近接收者的數量R時，可以實現高保真度的狀態轉移。
  3. 離散時間量子行走的多功能性：離散時間量子行走在R ≫ S的情況下也實現了多中心之間的狀態轉移，這在連續時間模型中是不可能的。此外，當只考慮單個發送者和單個接收者時，通過利用量子行走的硬幣自由度，可以在相同的運行時間內傳輸多個正交狀態，從而擴展了早期的結果。
  4. 量子比特和量子三態的交換：研究展示了發送者和接收者可以交換任意的量子比特狀態，如果他們知道彼此的位置，這種交換可以擴展到量子三態。
  5. 進一步研究方向：論文提出了幾個可能的研究方向，包括探索從非完全連接的普通頂點到中心的狀態轉移，以及利用基於遍歷可逆馬爾可夫鏈的框架來研究在非完全連接的多個頂點之間的狀態轉移。

術語表

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  • 量子行走（Quantum walk）：量子行走是一種量子計算模型，用於模擬經典隨機行走的量子對應物，它在量子信息科學中用於搜索算法和量子通信。
  • 哈密頓量（Hamiltonian）：哈密頓量是量子系統中描述粒子能量的算符，用於量子行走模型中定義系統的演化規則。
  • 連續時間量子行走（Continuous-time quantum walk）：連續時間量子行走是量子行走的一種，其中系統狀態的演化由哈密頓量決定，且演化是連續的。
  • 離散時間量子行走（Discrete-time quantum walk）：離散時間量子行走是量子行走的另一種形式，其中系統狀態的演化在一系列離散的時間點上進行。
  • 完全圖（Complete graph）：完全圖是一種簡單圖，圖中任意兩個不同的頂點之間都恰好有一條邊。
  • 狀態轉移（State transfer）：狀態轉移是量子信息科學中的一個過程，指的是將量子態從一個位置精確地傳輸到另一個位置。
  • 空間搜索（Spatial search）：空間搜索是量子行走在特定圖或網絡中尋找標記頂點的過程，是量子算法中的一個重要應用。
  • 量子比特（Qubit）：量子比特是量子計算中的基本單位，類似於經典計算中的比特，但可以處於疊加態。
  • 量子態（Quantum state）：量子態是量子系統的狀態，可以用波函數或量子態向量來描述。
  • 不變子空間（Invariant subspace）：不變子空間是變換下保持不變的向量子空間，即變換算符作用在該子空間的任何向量上，結果仍在該子空間內。
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