WikiEdge:ArXiv-2409.05678v1/conclusion

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根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 对 (n, m)-图的四色定理类比的探索：作者研究了一种特殊的图——(n, m)-图，这种图同时包含有向边和无向边，且这些边和弧被标记为不同的符号。论文中特别关注了所谓的 (n, m)-完全图，这类图在其底层图中没有环路或多重边，并且任何两个顶点的识别都会导致有不同标签的环路或并行邻接。
2. 平面 (n, m)-完全图的顶点数上界：论文证明了对于所有 (n, m) ≠ (0, 1) 的情况，一个平面 (n, m)-完全图的顶点数不能超过 3(2n+m)^2 + (2n+m) + 1，并且这个界限是紧确的。这为 (n, m)-图的同态研究领域中的一个基本的极值问题提供了答案，并且肯定地解决了 Bensmail 等人在 2017 年提出的一个猜想。
3. 确定平面 (n, m)-图的团数：通过上述结果，作者实际上找到了平面 (n, m)-图的团数，这是一个除了 (n, m) = (0, 1) 以外很难解决的问题。这可以看作是寻找平面 (n, m)-图的色数的一个步骤。

这些结论为理解平面 (n, m)-图的结构和性质提供了重要的理论基础，并且对图的同态理论有深远的影响。