WikiEdge:ArXiv-2409.05857v1
本文的基本信息如下：
- 標題：Finite Periodic Data Rigidity For Two-Dimensional Area-Preserving Anosov Diffeomorphisms
- 中文標題：二維保面積 Anosov 微分同胚的有限周期數據剛性
- 發布日期：2024-09-09T17:55:41+00:00
- 作者：Thomas Aloysius O'Hare
- 分類：math.DS
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2409.05857v1
摘要：讓$f,g$是$\mathbb{T}^2$上的$C^2$保持面積的Anosov微分同胚，它們通過一個同胚$h$（$hf=gh$）在拓撲上是共軛的。我們假設$f$和$g$的雅可比周期數據通過$h$在某個大周期$N\in\mathbb{N}$的所有點上是匹配的。我們證明$f$和$g$是「近似光滑共軛」的。也就是說，存在一個$C^{1+\alpha}$的微分同胚$\overline{h}_N$，使得$h$和$\overline{h}_N$在$N$上是$C^0$指數接近的，並且$f$和$f_N:=\overline{h}_N^{-1}g\overline{h}_N$在$N$上是$C^1$指數接近的。此外，收斂速率在不同的$f,g$之間在一個$C^2$有界的Anosov微分同胚集合中是均勻的。構造$\overline{h}_N$的主要思路是進行「加權的全局性」構造，而獲得我們估計的主要技術工具是加權離散軌道到SRB測度的Bowen均勻有效版本的分布定理。
章節摘要
本文研究了二維面積保持Anosov微分同胚的有限周期數據剛性問題。主要結果表明，如果兩個C2類面積保持Anosov微分同胚在T2上拓撲共軛，並且它們的Jacobian周期數據在某個大周期N上匹配，則存在一個C1+α微分同胚hN，使得原始共軛h與hN在C0和C1範數上指數接近。這一結果對於Anosov微分同胚的周期數據剛性理論具有重要意義。
- 引言：介紹了Anosov微分同胚的周期數據匹配問題，並提出了本文的主要研究目標，即在有限周期數據匹配的條件下，證明Anosov微分同胚的共軛是光滑的。
- 預備知識：回顧了Anosov微分同胚的基本性質，包括穩定和不穩定葉層的正則性，以及SRB測度的定義和性質。
- 主定理的證明：
- 新共軛的構造：通過加權全純構造，定義了一個新的共軛hN，並證明了它在C1+α範數上與原始共軛h接近。
- 初始共軛的一致性：證明了在U中的任意兩個共軛Anosov微分同胚f和g之間，共軛h在C1+α範數上是一致的。
- 新共軛的一致性：證明了新共軛hN在U中是一致的，並且與原始共軛h在C0和C1範數上指數接近。
- C0估計：利用有效等分布理論，證明了h與hN之間的C0距離可以被控制在一個關於周期N的指數衰減的範圍內。
- C1估計：通過插值理論，從C0和C1+α的估計中得到了h與hN之間的C1估計，證明了它們之間的C1距離也服從指數衰減。
研究背景
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphisms）的周期數據剛性（periodic data rigidity）：
- 阿諾索夫微分同胚是動力系統中一類具有強結構穩定性的系統，其周期數據的匹配性是研究其共軛性質的重要工具。
- 周期數據剛性是指在一定條件下，如果兩個阿諾索夫微分同胚的周期數據匹配，則它們必然是光滑共軛的。這一性質在低維系統中得到了廣泛的研究。
- 二維面積保持阿諾索夫微分同胚的共軛：
- 在二維情況下，所有阿諾索夫微分同胚都被證明具有周期數據剛性。然而，對於有限周期點的數據匹配，其共軛的正則性仍然是一個開放的問題。
- 本文研究了在有限周期數據匹配條件下，二維面積保持阿諾索夫微分同胚的共軛的正則性，特別是當共軛映射在某些周期點不滿足C1條件時。
- 權重全純性（weighted holonomy）構造：
- 權重全純性構造是本文提出的一種新方法，用於在有限周期數據匹配的條件下，構造兩個微分同胚之間的光滑共軛。
- 該方法利用了Bowen等分布定理的加權離散軌道版本，以及對SRB測度的深入理解，為研究阿諾索夫微分同胚的共軛提供了新的視角。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在二維面積保持阿諾索夫微分同胚中，對有限周期數據匹配條件下共軛映射正則性的研究，以及權重全純性構造在解決這一問題中的潛在應用。
問題與動機
作者面對的是二維面積保持Anosov微分同胚的有限周期數據剛性問題。具體問題包括：
- * 有限周期數據匹配的微分同胚的平滑性：對於通過同胚映射拓撲共軛的兩個二維面積保持Anosov微分同胚，當這些同胚在有限周期點的Jacobian周期數據匹配時，作者探索了這些同胚是否可以被近似光滑地共軛。
- * 權重全息構造的C1+α微分同胚的構造：作者試圖構造一個新的C1+α微分同胚，使得在N周期內，原始同胚與新同胚在C0和C1範數下指數級接近，同時新同胚能夠光滑地共軛兩個Anosov系統。
- * 統一有效版本的Bowen等分布定理：作者使用了一個統一有效的Bowen等分布定理的版本，用於權重離散軌道到SRB測度，以獲得所需的估計。
研究方法
這篇文獻的工作部分詳細介紹了如何通過構造新的共軛映射來研究二維面積保持Anosov微分同胚的有限周期數據剛性。以下是這部分的主要內容：
- 共軛映射的構造（Conjugacy Construction）：
- 定義了共軛映射的概念，即如果存在一個同胚映射使得兩個動力系統在該映射下表現出相同的動力學行為。
- 有限周期數據匹配（Finite Periodic Data Matching）：
- 加權全純（Weighted Holonomy）：
- 通過加權全純構造方法，構造了一個新的C1+α共軛映射hN，使得原始共軛映射h與hN在周期N上C0和C1範數上指數接近。
- 統一有效版本的Bowen等分布定理（Uniform Effective Version of Bowen's Equidistribution Theorem）：
- 統一性（Uniformity）：
- 強調了在整個構造過程中保持估計的統一性的重要性，確保了對於給定集合U中的任意兩個Anosov微分同胚，都可以找到滿足一定條件的共軛映射hN。
- 正則性估計（Regularity Estimates）：
- 通過一系列技術計算，證明了共軛映射hN不僅在不穩定葉上C1+α正則，而且在全局上也具有良好的正則性。
研究結論
根據提供的文獻內容，這篇論文的主要結論可以概括如下：
- 有限周期數據的剛性：對於在二維環面上的C^2面積保持Anosov微分同胚f和g，如果存在一個同胚h使得hf=gh，並且對於某個大的周期N，f和g的Jacobian周期數據通過h匹配，則f和g是「近似光滑共軛」的。
- 共軛的平滑性：存在一個C^1+α微分同胚h_N，使得h和h_N在C^0範數下指數接近，並且f和f_N:=h_N^{-1}gh_N在C^1範數下指數接近。此外，收斂速率在Anosov微分同胚的C^2有界集合U中是一致的。
- 構造方法：構建h_N的主要思想是進行「加權holonomy」構造，而獲得估計的主要技術工具是Bowen關於加權離散軌道到SRB測度的均勻有效版本的等分布定理。
這些結論展示了在有限周期數據匹配條件下，Anosov微分同胚的共軛不僅存在，而且具有良好的正則性，這對於理解Anosov系統的動力學性質具有重要意義。
術語表
這篇文章的術語表如下：
- Anosov 微分同胚（Anosov diffeomorphism）：在緊緻流形上的一類具有特定動力學性質的微分同胚，其在切空間中存在一個Df不變分解，並且存在常數使得在不穩定子叢上的伸縮率和在穩定子叢上的伸縮率滿足特定的不等式。
- SRB 測度（SRB measure）：對於某些非一致雙曲系統，SRB測度是一種與Lebesgue測度相容的物理測度，它在系統動力學中起著核心作用。
- 結構穩定性（Structural Stability）：如果在一個微分同胚的小的C^1鄰域內，每個系統都與原系統拓撲共軛，則稱該系統具有結構穩定性。
- 准同胚（Quasi-isometric）：如果存在常數使得對於流形上的任意兩點，沿某個方向的距離與沿另一個方向的距離的比值被這兩個常數的乘積所界定，則稱這兩個方向是准同胚的。
- 條件測度（Conditional measure）：在給定的分割下，系統在每個元素上的測度，這個測度相對於某個給定的測度是絕對連續的。
- Jacobian 行列式（Jacobian determinant）：在微分幾何和微分拓撲中，Jacobian行列式是一個函數在給定點的線性逼近的伸縮因子，它描述了函數在該點的局部伸縮或壓縮程度。
- C1+α 微分同胚（C1+α diffeomorphism）：具有C1+α正則性的微分同胚，其中α是介於0和1之間的常數，表示函數在局部的Hölder連續性。
- Bowen 的等分布定理（Bowen's equidistribution theorem）：描述了在動力系統中，周期點如何以指數速率等分布到SRB測度。
- Hölder 連續（Hölder continuity）：如果函數的增量的增長率受到某個冪次小於1的指數的控制，則稱該函數是Hölder連續的。
- 同胚（Homeomorphism）：在拓撲空間之間保持結構的雙射，且其逆映射也是連續的。