吉布斯采样
吉布斯采样（Gibbs Sampling）是一种马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，用于从多维概率分布中抽样。它通过条件概率分布的逐次更新实现目标分布的渐近收敛。最初，吉布斯采样被广泛用于经典统计推断，特别是在贝叶斯推理和机器学习中，帮助从复杂的多维分布中获取样本，而不需要直接计算该分布的联合概率[1][2]。在经典统计物理中，吉布斯态（Gibbs state）是热平衡系统的自然状态，描述了一个系统在固定温度下的统计分布。对于量子系统，吉布斯态则是量子热平衡态，广泛应用于量子统计力学和量子计算模拟[3]。近来，量子吉布斯采样（Quantum Gibbs Sampling）被提出作为量子计算的一个核心任务，通过量子算法从吉布斯态中高效采样，并展示出相比经典计算的超多项式加速[4]。量子吉布斯采样器的引入极大地扩展了吉布斯采样的应用范围，尤其在量子热化、量子态制备、量子哈密顿量学习等领域，具有潜在的重大应用[4][5]。量子计算机可以通过快速热化过程模拟复杂的量子系统，特别是对于局部哈密顿量的量子系统，展示了相较于经典计算机的显著优势[6][7]。这一量子优势在低温与高温下的吉布斯采样中都得到了验证[1][7]。通过量子吉布斯采样，不仅能够实现量子系统的高效模拟，还为量子计算提供了一条通往实际应用的路径。例如，常温下的吉布斯态采样被证明可以通过量子计算机实现，而经典计算机却在相同任务中表现出采样困难性[8]。这种任务的复杂性背后，体现了量子计算在特定问题上的潜在优越性[6]。
理论背景
吉布斯分布与吉布斯态 吉布斯分布（Gibbs distribution）源自统计物理学，用于描述一个系统在热力学平衡时的概率分布。对于经典系统，吉布斯分布的形式为：
\[ P(x) = \frac{e^{-H(x)/kT}}{Z} \]
其中，\( H(x) \) 是系统的哈密顿量，\( k \) 是玻尔兹曼常数，\( T \) 是温度，\( Z \) 是配分函数，确保概率归一化。吉布斯分布广泛用于物理、化学以及计算科学领域，特别是在马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法的实现中被大量应用[1]。
对于量子系统，吉布斯态（Gibbs state）是其热平衡态的描述。一个量子系统的吉布斯态可以表示为：
\[ \rho_{\beta} = \frac{e^{-\beta H}}{Z} \]
其中，\( \beta = 1/kT \) 为逆温度，\( H \) 是系统的哈密顿量，\( Z = \text{Tr}(e^{-\beta H}) \) 是归一化因子。吉布斯态在量子统计力学中占据核心地位，描述系统在平衡时的状态[2]。由于量子系统的复杂性，尤其是在低温下，计算吉布斯态成为了量子计算中的一个重要研究方向。
量子系统中的热平衡与热化 量子热化是指量子系统通过与外部热浴（bath）的相互作用，逐渐达到热平衡的过程。根据量子统计力学，热平衡状态即为吉布斯态[4]。吉布斯态在经典和量子系统中的应用涵盖了多体物理、化学和信息理论等广泛领域。
在量子系统中，热化过程通常被描述为一个时间演化，系统通过与环境的相互作用趋向热平衡。Lindbladian是一种常用于描述开放量子系统演化的数学工具，通过它可以模拟系统与热浴相互作用下的时间演化[5]。通过这种方法，量子计算机可以高效地模拟吉布斯态，并加速系统的热化过程。热化模型在量子算法中扮演着重要角色，为量子吉布斯采样提供了理论基础[7]。
量子吉布斯采样的计算复杂性 在经典计算中，随着系统规模的增加，直接从吉布斯态中采样的复杂性急剧增加。在高温下，经典算法可以通过高效的近似方法进行采样，但在低温或具有复杂哈密顿量的系统中，经典采样变得困难[3]。量子计算机通过量子吉布斯采样可以加速这个过程，特别是对于多体相互作用的量子系统，量子计算展示了其在热平衡态采样中的优势[8]。
近来的研究表明，量子计算机在恒定温度下对于局部哈密顿量的吉布斯态采样具有超多项式加速，甚至在经典计算机无法处理的条件下，量子计算机仍能高效地进行采样[7]。这展示了量子计算在吉布斯采样中的潜力，尤其是在量子优势实验中，吉布斯态采样成为了重要的验证方向。
吉布斯采样算法
经典吉布斯采样 经典吉布斯采样是通过逐次条件采样来从联合分布中生成样本的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法。对于多维随机变量 \( x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \)，吉布斯采样的基本步骤如下：
- 初始时刻选择一个起始点 \( x^{(0)} \)。
- 依次更新每个变量 \( x_i \)，即根据其他变量的当前值，依条件分布 \( P(x_i \mid x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n) \) 采样。
- 重复步骤2，直到马尔可夫链达到稳态，生成符合联合分布 \( P(x_1, \dots, x_n) \) 的样本[1]。
经典吉布斯采样的核心思想是通过逐步更新单个变量的条件分布，使得整个系统收敛于目标分布。它特别适合处理高维分布，尤其在每个变量的条件分布较为简单时。吉布斯采样被广泛应用于贝叶斯推理、图模型、机器学习等领域[2]。
量子吉布斯采样 量子吉布斯采样则扩展了经典的吉布斯采样至量子系统中，通过量子计算机对量子态进行采样。量子吉布斯采样的目标是在给定哈密顿量 \( H \) 和逆温度 \( \beta \) 的情况下，从吉布斯态 \( \rho_{\beta} = \frac{e^{-\beta H}}{\text{Tr}(e^{-\beta H})} \) 中生成样本。与经典吉布斯采样不同，量子吉布斯采样需要解决的一个主要问题是如何在量子系统中实现快速混合，使得系统从初始状态收敛到吉布斯态[3]。
量子吉布斯采样的一种方法是通过Lindbladian演化，它描述了一个开放量子系统在与环境相互作用下的时间演化过程。具体而言，通过设计Lindbladian生成器 \( L \)，系统的密度矩阵 \( \rho(t) \) 在时间 \( t \) 演化后趋近于吉布斯态 \( \rho_{\beta} \)。这种方法的关键是通过引入耗散效应，快速将系统热化到目标状态[4]。
另一种有效的量子吉布斯采样方法是量子蒙特卡洛算法，该算法通过量子电路模拟经典蒙特卡洛中的更新步骤。在这种方法中，量子电路模拟了量子系统中的局部更新过程，每次根据量子态的局部相互作用生成一个新的状态，逐步逼近吉布斯态[5]。例如，非交换吉布斯采样通过引入块编码和Lindbladian构造，确保量子系统的演化满足详细平衡条件，从而实现高效的吉布斯态采样[6]。
局部哈密顿量的量子采样 吉布斯采样特别适合用于局部哈密顿量的量子系统。在这些系统中，哈密顿量可以表示为多个局部相互作用项的和，即 \( H = \sum_{i} H_i \)，其中每个 \( H_i \) 仅作用于系统的某个局部区域。量子吉布斯采样通过将这些局部哈密顿量与量子电路相结合，使得在多项式时间内从吉布斯态中采样成为可能[7]。
通过量子采样算法，可以有效地从具有局部相互作用的哈密顿量中生成吉布斯态。研究表明，即使在常温下，量子系统中的局部哈密顿量采样也能够展现出相较于经典计算的量子优势。这种优势特别体现在经典算法在采样这些复杂多体系统时遇到的计算困难，而量子计算机可以通过多项式时间的量子电路快速热化并生成样本[8]。
量子吉布斯采样的复杂性与优势 对于具有局部哈密顿量的量子系统，量子吉布斯采样在计算复杂性上展示了明显的优势。研究表明，量子计算机可以在时间复杂度上实现对经典计算机的超多项式加速[3]。在这些系统中，经典采样算法在低温条件下变得极其困难，而量子计算机通过对局部相互作用进行有效的量子模拟，可以在多项式时间内完成采样任务。此外，量子吉布斯采样还具有在存在测量误差和噪声的情况下，保持计算优势的鲁棒性[7]。
应用
量子哈密顿量学习 量子哈密顿量学习问题旨在从量子系统的测量结果中推断出其哈密顿量 \( H \)，特别是在已知系统处于吉布斯态时。在已知逆温度 \( \beta \) 的情况下，吉布斯采样为量子哈密顿量学习提供了一个有效的途径。量子吉布斯采样能够在多项式时间内学习局部哈密顿量，即使在低温条件下也可以实现较高精度。这种方法解决了先前经典算法在低温下采样困难的问题，展现出量子算法的计算优势[9]。
这一领域的最新进展展示了量子算法能够在多项式时间内，从有限数量的吉布斯态样本中学习局部量子哈密顿量，即使在低温条件下，这一任务也能够高效完成[3]。这不仅为量子哈密顿量学习开辟了新的方向，也为量子系统的验证和控制提供了重要工具。
量子热化与态制备 量子吉布斯采样还在量子热化与态制备中有广泛应用。热化过程是量子系统在与环境相互作用后趋向热平衡的自然过程。通过吉布斯采样，量子计算机能够快速模拟这一过程，并有效制备量子系统的热平衡态（即吉布斯态）。这在量子模拟中尤为重要，特别是对于描述材料、分子等复杂量子多体系统的热平衡状态[4]。
此外，吉布斯采样还被用于制备量子纯化态（即热场双态）。这些纯化态可以通过绝热路径制备，用于量子信息处理中的量子态传输和纠缠态生成。这些技术在量子模拟、量子计算和量子信息领域展现出了巨大的应用潜力[5]。
量子计算优势与经典采样的困难性 量子计算机在吉布斯采样中展现出显著的计算优势，特别是在恒定温度下采样局部哈密顿量的吉布斯态时。研究表明，量子计算机能够在多项式时间内从这些吉布斯态中采样，而经典计算机则难以处理这一任务。特别是对于5-局部和6-局部的哈密顿量系统，经典算法在这些问题上的计算难度极大，量子计算机通过量子采样展示了超多项式加速的能力[6]。
通过在常温下实现的量子优势，这些研究验证了量子吉布斯采样在多体物理系统中的重要性，并为量子计算在解决复杂物理问题上的应用提供了有力支持。此外，研究还证明了，即使在存在测量误差和不完美条件下，量子采样的经典困难性依然稳健[7]。
量子吉布斯采样为研究复杂量子系统提供了重要的算法工具，并为展示量子计算机在特定问题上的优势奠定了理论基础。
技术突破与挑战
突破之一：Lindbladian演化的高效热化 一个关键的技术突破是通过Lindbladian演化实现量子系统的高效热化。Lindbladian是描述开放量子系统时间演化的数学工具，能够在与环境相互作用的条件下使量子系统热化到吉布斯态[4]。通过这种方法，量子计算机可以在多项式时间内从复杂量子系统的吉布斯态中生成样本，从而解决了经典计算在低温或多体系统中的采样困难问题。
Lindbladian热化的一个重大优势在于它能够处理局部哈密顿量，特别是在这些哈密顿量满足Lieb-Robinson界限的情况下。通过设计合适的Lindblad算子，系统可以在较短的时间内实现高效热化，生成符合目标分布的量子态。这为量子吉布斯采样的实现提供了理论基础，并展现了其在实际量子模拟中的应用潜力。
挑战之一：低温条件下的热化与采样困难性 尽管在高温条件下量子系统的吉布斯态采样相对容易，但在低温条件下，经典计算机的采样任务变得极为困难。低温下的吉布斯态由于其强量子纠缠特性，使得经典算法难以有效生成样本[3]。然而，量子计算机在这些条件下仍然具有显著的计算优势，能够通过量子采样算法快速制备和采样吉布斯态。
但是，如何设计鲁棒的量子算法，以确保在低温条件下系统的热化速度足够快，仍然是一个具有挑战性的技术问题。特别是在面对大规模量子系统时，采样的时间复杂度和所需的量子资源都是限制量子吉布斯采样应用的关键因素。
突破之二：噪声与误差下的容错采样 量子计算中的噪声和误差是影响量子吉布斯采样精度和鲁棒性的主要挑战之一。为了应对这些问题，研究者们开发了一系列容错方案，以确保在存在输入噪声和测量误差的情况下，量子计算机仍然能够展示量子优势[6]。
特别是对于浅层量子电路，通过引入非自适应的容错技术，可以有效地减少由于量子态制备和测量中的噪声所带来的影响。通过这种容错机制，量子吉布斯采样能够在复杂环境下保持鲁棒性，展示出量子计算在实际物理系统中的应用潜力。
挑战之二：经典算法的竞争与采样困难性 尽管量子吉布斯采样在许多问题上展示出计算优势，但经典算法在某些特殊情况下仍然具有竞争力。例如，在高温下或某些可交换哈密顿量的特殊条件下，经典算法可以通过近似方法高效采样。这使得量子吉布斯采样在这些情形下的量子优势相对减弱[7]。
因此，如何进一步扩大量子吉布斯采样的适用范围，并在更广泛的物理系统中保持其量子优势，仍然是量子计算领域的研究重点。经典与量子算法之间的竞争促使研究者不断探索更加高效、通用的量子采样方法，以应对经典计算在特定问题上的挑战。
突破之三：复杂哈密顿量系统中的量子优势 在复杂哈密顿量系统中，尤其是具有高局部相互作用的多体系统，量子吉布斯采样已经展示了量子计算的巨大潜力。在这些系统中，经典计算面临着极高的采样复杂性，特别是当哈密顿量的局部性增加时，经典算法难以处理这些多体相互作用[5]。
通过引入多项式时间的量子电路，量子计算机能够在这些复杂系统中快速热化并生成吉布斯态，展示出经典算法无法企及的计算速度。特别是对于5-局部和6-局部的哈密顿量系统，量子吉布斯采样证明了其在模拟复杂量子多体系统中的强大能力。这一技术突破为量子计算的进一步发展和应用奠定了坚实的基础。
局限性
低温下的热化效率 尽管量子吉布斯采样在高温条件下表现出明显的计算优势，但在低温下，系统的热化效率可能会显著降低。低温条件下，量子系统的态往往具有强纠缠结构，这使得热化过程变得更加复杂。经典算法在低温下也面临困难，但即使是量子吉布斯采样，在处理高度纠缠的低温态时，也可能需要更多的资源和更长的时间才能达到平衡态[3]。这种局限性在低温下表现得尤为突出，制约了量子吉布斯采样在某些物理系统中的效率。
量子资源的需求 量子吉布斯采样需要消耗大量的量子资源，特别是在处理具有复杂相互作用的多体系统时。虽然量子计算机能够展示相较于经典计算机的加速，但量子电路的深度和量子比特的数量都可能对算法的可扩展性造成限制。在某些大规模系统中，所需的量子资源可能超出了现有量子硬件的能力，导致在现实中难以有效实现吉布斯采样[5]。
经典采样的竞争力 尽管量子吉布斯采样在某些情况下具有超多项式加速，但经典算法在某些特殊场景中仍然具备竞争力。例如，当哈密顿量具有某种对称性或者在高温条件下，经典的近似算法能够高效地完成采样任务。这些情况下，经典算法的表现可能与量子算法相当，从而削弱了量子计算的优势[7]。
噪声和误差的影响 现有的量子计算硬件仍然受到噪声和误差的限制。在实际操作中，量子比特的退相干和量子门操作中的不精确性可能对吉布斯采样的结果产生影响。虽然容错技术可以在一定程度上缓解噪声和误差的影响，但这些技术会增加算法的复杂性和资源消耗[6]。对于某些应用，尤其是精度要求较高的量子模拟任务，噪声和误差可能成为量子吉布斯采样的显著限制。
量子优势的鲁棒性问题 量子吉布斯采样在某些任务上展示了相较于经典计算的优势，但这种量子优势的鲁棒性仍需进一步验证。尤其是在面对现实中复杂的物理系统时，量子吉布斯采样能否始终保持超越经典计算的性能，仍然是一个开放性问题[8]。此外，当系统涉及较高维度或更为复杂的相互作用时，量子算法是否仍然能够高效运行，亦存在不确定性。
参考文献
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Casella, G., & George, E. I. (1992). Gibbs Sampling: A Monte Carlo Approach to Bayesian Computation. The American Statistician, 46(3), 167–174.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Geman, S., & Geman, D. (1984). Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, PAMI-6(6), 721–741.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Bakshi, A., Liu, A., Moitra, A., & Tang, E. (2024). High-Temperature Gibbs States are Unentangled and Efficiently Preparable. arXiv preprint arXiv:2403.16850.
- ↑ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Rouzé, C., França, D. S., & Alhambra, A. M. (2024). Efficient thermalization and universal quantum computing with quantum Gibbs samplers. arXiv preprint arXiv:2403.12691.
- ↑ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Chen, C. F., Kastoryano, M. J., & Gilyén, A. (2023). An efficient and exact noncommutative quantum Gibbs sampler. arXiv preprint arXiv:2311.09207.
- ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Bergamaschi, T., Chen, C. F., & Liu, Y. (2024). Quantum computational advantage with constant-temperature Gibbs sampling. arXiv preprint arXiv:2404.14639.
- ↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Rajakumar, J., & Watson, J. D. (2024). Gibbs Sampling gives Quantum Advantage at Constant Temperatures with -Local Hamiltonians. arXiv preprint arXiv:2408.01516.
- ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 Montanaro, A. (2016). Quantum algorithms: An overview. npj Quantum Information, 2(1), 1-8.
- ↑ Anshu, A., Arunachalam, S., Kuwahara, T., & Soleimanifar, M. (2020). Sample-Efficient Learning of Quantum Many-Body Systems. arXiv preprint arXiv:2004.07266.