WikiEdge:常宽体

来自WikiEdge
跳转到导航 跳转到搜索

本页面搜集撰写常宽体相关条目的信息、规范和计划。

相关论文

术语的厘定

大致可以确定内涵的术语

一般的几何概念

  • 直径（Diameter）：集合S中任意两点间的最大距离。
  • 覆盖（Cover）：如果集合S的每个点都至少属于m个集合中的一个，则称这些集合覆盖了S。
    • k重覆盖（k-fold cover）：如果集合S的每个点至少属于m个集合中的k个，则称这些集合k重覆盖了S。
  • 子集（Subset）：从集合S中选取部分元素构成的集合。
  • 对称性（Symmetry）：如果一个集合S在某种变换（如旋转、反射）下保持不变，则称S具有这种变换的对称性。
  • 光滑体（Smooth body）：边界是C1类子流形的集合。
  • 反射（Reflection）：一种几何变换，将一个图形沿某条直线（反射轴）映射到其对称位置。
  • 旋转（Rotation）：一种几何变换，将一个图形绕某一点（旋转中心）按照一定角度转动。
  • 对称群（Symmetry group）：描述一个几何对象所有对称性的数学结构。
  • 切平面（Tangent plane）：在凸体的边界点处，与边界相切的平面。
  • 法向量（Normal vector）：垂直于切平面的向量。
  • 支撑元素（Support element）：凸体的边界点和该点的外法向量构成的一对。
  • 光滑点（Smooth point）：在凸体的边界上，如果存在唯一的外法向量，则该点称为光滑点。
  • 正则点（Regular point）：在凸体的边界上，如果存在唯一的外法向量，则该点称为正则点。
  • 正则法向量（Regular normal vector）：如果一个法向量是凸体在唯一边界点的法向量，则该法向量称为正则法向量。
  • 单位球（Unit sphere）：以原点为中心，半径为1的球体。

凸几何的基本概念

  • 支撑平面（Supporting plane）：与凸体表面相切的平面，且凸体完全位于该平面的一侧。
  • 支撑超平面（Supporting hyperplane）：与凸体相切的超平面。
  • 支撑超平面（Supporting hyperplane）：如果一个超平面与凸体相交，并且凸体完全位于该超平面的一侧，则称该超平面为凸体的支撑超平面。
  • 支撑函数（Support function）：定义为凸体上一点处外法线方向向量与该点处支撑平面的法向量之间的点积。
  • 凸集的直径（Diameter of a convex set）：指凸集内部任意两点间的最大距离。
  • 凸集的凸包（Convex hull）：指包含一个给定集合的最小凸集。
  • 凸体（Convex body）：在欧几里得空间中，对于集合内任意两点间的线段，如果线段上的所有点都在集合内，则该集合称为凸集。
  • 凸体（Convex body）：在欧几里得空间中，一个集合，其中任意两点之间的线段完全包含在该集合内。
  • 凸体（Convex body）：指一个在欧几里得空间中的紧致凸子集，具有非空的内部。
  • 凸体（Convex body）：在欧几里得空间中，一个集合，其中任意两点之间的线段完全包含在该集合内。
    • 光滑凸体（Smooth convex body）：每个边界点恰好属于一个支撑超平面的凸体。
    • 常宽凸体（Convex body of constant width）：任意两点之间的距离不超过1，并且当且仅当这两点被平行的支撑超平面所支撑时，距离等于1的凸体。
    • 直径（Diameter）：凸体中任意两点间的最大距离。
    • 直径（Diameter）：凸体上两点间最大距离的两倍。
    • 内半径（Inradius）：凸体中最大的内切球的半径。
  • 内半径（Inradius）：能够被凸体完全包含的最大球体的半径。
    • 外接半径（Circumradius）：能够包含凸体的最小球体的半径。
    • 凸体的宽度（Width）：凸体在特定方向上与两个支撑平面之间的距离。
    • 凸体的面（Face of convex body）：凸体边界的一部分，由凸体边界上的点组成。
    • 凸体的边界点（Boundary point of convex body）：凸体边界上的点。
    • 凸体的最小维度面（Face of smallest dimension）：凸体中维度最小的面。
    • 凸体的高斯像的相对内部（Relative interior of Gauss image）：高斯像内部的部分，不包括边界。
    • 凸体的高斯像的并集（Union of Gauss images）：多个凸体面的高斯像的并集。
    • 凸体的高斯像的覆盖半径（Covering radius of Gauss image）：覆盖单位球面所需的最小半径。
    • 切线半径（Radius of curvature）：在凸体的边界点处，与边界相切的圆的半径。
    • 切线半径的下确界（Lower radius of curvature）：在凸体的边界点处，所有可能的切线圆的半径的下确界。
    • 切线半径的上确界（Upper radius of curvature）：在凸体的边界点处，所有可能的切线圆的半径的上确界。
    • 切线半径（Tangential radius of curvature）：使用投影定义的凸体在某法向量方向上的切线半径。
  • 凸包（Convex hull）：一组点的最小凸集，包含该组点中的每一个点。
  • 凸包（Convex hull）：一组点的最小凸集，包含该组点。
    • 凸包的顶点（Vertices of convex hull）：构成凸包的点。
  • 凸性（Convexity）：如果凸体上任意两点间的线段完全位于凸体内部，则称该凸体是凸的。
  • 支撑函数（Support function）：定义为对于一个凸集和空间中的一个方向，该方向上所有点的支撑超平面的法向量与点的内积的最大值。
  • 支撑函数（Support function）：对于凸体和任意方向的单位向量，支撑函数定义为凸体在该方向上最远点的标量值。
  • 支持函数（Support function）：定义为凸体上任意一点在给定方向上的支撑超平面的最小距离。
  • 宽度函数（Width function）：定义为一个凸集的支撑函数在正方向和反方向上的值的和。

常宽体

  • 常宽体（Body of constant width）：在所有方向上具有相同宽度的凸体。
  • 常宽体（Constant width body）：在n维欧几里得空间中，如果凸体B在任意方向u上的宽度（即与u正交的两个支撑平面之间的距离）是常数，则称B具有常宽。
  • 常宽体（Body of constant width）：一个凸体，如果它的任意两个平行支撑超平面之间的距离是常数，则称为常宽体。
  • 常宽体（Constant width bodies）：在任意方向上的宽度都相等的凸体。
  • 常宽体（Constant width bodies）：在三维空间中，从特殊嵌入的自对偶图构造的具有恒定宽度的实体。
    • 常宽凸体（Convex body of constant width）：指在欧几里得空间中的一个紧致凸集，其任意两个平行支撑超平面之间的距离相等。
    • 相对常宽（Constant relative width）：指一对紧致凸集在欧几里得空间中，对于每一个单位向量，它们的支撑函数之和为常数。

几何体

  • 旋转体（Body of revolution）：通过围绕某一轴旋转某个曲线生成的三维几何体。
  • 凸多面体（Convex polytope）：在d维空间中的一个有限凸集，其边界由一系列多面体组成。
  • Reuleaux三角形（Reuleaux triangle）：通过三个圆盘在等边三角形的顶点处相交形成的常宽体。
  • Reuleaux三角形（Reuleaux triangle）：一个由圆弧构成的平面图形，其边界由三个圆的弧段组成，每个弧段的圆心位于其他两个弧段的圆上。
  • Meissner体（Meissner bodies）：在三维空间中，具有特定几何属性的常宽体。
  • Meissner四面体（Meissner's tetrahedron）：一个已知的凸体，具有相对较小的体积与宽度立方比值。
  • Reuleaux三角旋转体（Rotated Reuleaux triangle）：通过围绕Reuleaux三角形的对称轴旋转得到的常宽体。
  • Reuleaux多边形（Reuleaux polygon）：由相同直径的圆弧围成的凸多边形。
  • 球体（Spheres）：以特定点为中心，所有点到中心的距离相等的几何形状。
  • 球多面体（Ball polyhedra）：通过有限数量的全等球体相交形成的几何形状。
  • Reuleaux 多面体（Reuleaux polyhedra）：满足特定条件的凸体，如由一组点定义的球体的交集，并且是标准球多面体。
  • Reuleaux多面体（Reuleaux polyhedra）：Reuleaux多面体是一类特殊的三维形状，由一系列半径为1的球体在三维空间中相交形成，其边界上的角点正是这些球体的中心点。
  • Meissner 多面体（Meissner polyhedra）：通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每对对偶边上进行手术得到的常宽体。
  • Meissner多面体（Meissner polyhedra）：Meissner多面体是由Reuleaux多面体转换而来的一种具有恒定宽度1的几何体。
  • 标准球多面体（Standard ball polyhedra）：如果两个面的交集为空、GΦ的顶点或GΦ的单一边，则称三维球多面体Φ为标准球多面体。
  • 球多面体（Ball polyhedra）：球多面体是三维空间中由有限数量的半径为1的球体相交形成的几何体。
  • Reuleaux 多边形（Reuleaux polygons）：在二维空间中，由一组点定义的球体的交集形成的Reuleaux多面体。
  • Meissner 实体（Meissner solids）：具有常宽的三维实体，其边界的平滑部分具有恒定的次要主曲率。
  • 球帽（Spherical caps）：球帽是球体表面的一部分，通常用于描述Meissner多面体边界的平滑部分。
  • X射线数（X-ray number）：对于给定的凸体K，X射线数X(K)是最小的线的数量，使得K中的每个点至少被这些线中的一条X射线。
  • 外法向量（Outer normal vector）：指向凸体外部的法向量。
  • 外法向量（Outer normal vector）：在凸体的边界上的一点，指向凸体外的单位法向量。
    • 单位外法向量（Unit outward normal vector）：凸体表面上某点处垂直于表面的单位向量。
  • Mycielski构造（Mycielski construction, Mycielskian）：一种图论中构造新图的方法，用于生成具有特定属性的图。
  • Borsuk数（Borsuk number）：一个集合S的Borsuk数是最小的正整数m，使得存在m个集合，其直径均小于S的直径d，并且这些集合的并集覆盖了S。
  • k重Borsuk数（k-fold Borsuk number）：集合S的k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在m个集合，其直径均小于S的直径d，并且这些集合k重覆盖了S。
  • 分数Borsuk数（Fractional Borsuk number）：集合S的分数Borsuk数是其k重Borsuk数与k的比值的下确界。
  • 切比雪夫球（Chebyshev ball）：对于一个凸集，指包含该凸集的最小半径球。
  • 收缩映射（Retraction）：指一个映射，它将一个空间中的一个邻域映射到该空间的一个子集上，并且保持该子集上的点不变。
  • 绝对邻域收缩（Absolute neighborhood retract，ANR）：指一个度量空间，对于任何包含它的度量空间，都存在一个邻域和到该空间的收缩映射。
  • 仿射群（Affine group）：指由所有仿射变换构成的群，记为Rn ⋊ GL(n)。
  • 相似变换（Similarity transformation）：指一个具有正比率λ的仿射变换，使得对于所有点x, y，有∥g(x) − g(y)∥ = λ∥x − y∥。
  • Minkowski空间（Minkowski space）：一个有限维实数赋范空间，用于研究凸体和几何不等式。
  • Minkowski 加法（Minkowski addition）：对于两个集合A和B，定义为A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}。
  • Minkowski 加法（Minkowski addition）：对于两个集合A和B，它们的Minkowski和是所有形式为a+b的点的集合，其中a属于A，b属于B。
  • 仿射等距嵌入（Affine isometric embedding）：指一个映射，它保持了集合的仿射结构和度量性质。
  • 完全体（Complete bodies）：在Minkowski空间中，不能通过增大而不增加其直径的有界集合。
  • Minkowski不对称性（Minkowski asymmetry）：描述凸集不对称性的度量，是将一个集合通过缩放后能够覆盖其关于原点的镜像集合所需的最小缩放因子。
  • Jung常数（Jung constant）：在任意Minkowski空间中，凸体的外接半径与直径之比的最大值。
  • Scott补（Scott completion）：如果一个补全与原集合具有相同的外接球，并且直径也相同，则称这个补全为Scott补全。
  • Banach-Mazur距离（Banach-Mazur distance）：两个全维集合之间的距离，定义为一个集合能够通过线性映射缩放并平移至另一个集合所需的最小缩放因子。
  • Helly维数（Helly dimension）：在凸几何中，如果一个凸集族中任意k+1个集合的交集非空，则整个族的交集也非空的最小正整数k。
  • Blaschke选择定理（Blaschke Selection Theorem）：在凸体理论中，如果一个凸体序列的直径和外接半径都受到限制，则该序列有一个收敛子序列。
  • 线性规划（Linear Programming）：一种数学方法，用于在一组线性不等式约束下最大化或最小化一个线性目标函数。
  • Hadamard矩阵（Hadamard matrix）：一种特殊类型的方阵，其元素为+1或-1，行之间正交。
  • 自对偶图（Self-dual graphs）：在三维空间中具有特殊嵌入的图，其中每个顶点与其对偶面的距离等于一个常数。
  • 0-奇异点（0-singular points）：在球多面体边界上，使得包含该点的球体集合中的所有球体都包含该点的点。
  • 1-奇异点（1-singular points）：在球多面体边界上，使得包含该点的球体集合的交集中至少有两个点并且位于某个大圆上的点。
  • Voronoi图（Voronoi diagram）：对Reuleaux多边形进行最远点Voronoi图划分，将多边形分解为包含相应圆弧的凸多边形。
  • Delaunay 三角剖分（Delaunay triangulation）：Reuleaux多边形的最远点Delaunay三角剖分，形成一组子集，其凸包划分了多边形。
  • 对偶面（Dual faces）：在自对偶图中，与顶点相对的面，由球体的交确定。
  • 奇异点（Singular points）：在球多面体边界上，不符合规则点定义的点。
  • 规则点（Regular points）：在球多面体边界上，满足特定条件的点，如在某个球体的表面上。
  • Euler-Poincaré 公式（Euler-Poincaré formula）：对于任何具有v个顶点，e条边和f个面的三维球多面体，公式为v - e + f = 2。

球面凸体

  • 球面凸集（Spherically convex）：在球体表面上的凸集，即在球体表面上的凸形状。
  • 球面体（Spherical body）：指在d维球面Sd中的一个凸集。
  • 半球（Hemisphere）：球面Sd与Ed+1中的闭半空间的共同部分。
  • 月牙（Lune）：两个不同的非相对半球G和H的交集中称为月牙。
  • 球面距离（Spherical distance）：球面上两点之间的较短部分的弧长。
  • 球面凸体（Spherical convex body）：在球面上没有一对对跖点属于C，并且对于任意a, b ∈ C，线段ab包含于C中。
  • 球面球（Spherical ball）：球面Sd中与d-1维大球的共同部分。
  • 球面宽度（Width of a spherical body）：对于支持凸体C的半球G，定义widthG(C)为包含C的最窄月牙的厚度。
  • 常宽体（Body of constant width）：如果对于每个支持C的半球G，widthG(C) = w，则称C为常宽体。
  • 球面直径（Diameter of a spherical body）：球面体C的直径是C中任意两点间的最大球面距离。
  • 球面凸包（Convex hull）：对于Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
  • 球面厚度（Thickness of a lune）：月牙L的厚度定义为界定L的(d-1)维半球的中心之间的球面距离。
  • 球面极端点（Extreme point of a spherical body）：在球面凸体C中，如果不存在其他点使得该点位于连接这两点的线段上，则该点是极端点。
  • 球面支持半球（Supporting hemisphere）：如果C ⊂ Q且bd(C) ∩ bd(Q) ≠ ∅，则称半球Q从内部接触凸体C。
  • 球面相对内部（Relative interior of a convex set）：指凸集C在包含它的最小球面Sk中的内部。
  • 球面凸包（Convex hull）：对于Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
  • 球面常宽体（Spherical body of constant width）：如果对于每个支持W的半球，W的宽度相同，则称W为常宽体。
  • 球面直径常数体（Spherical body of constant diameter）：如果满足直径等于某个常数w，并且对于每个边界点p存在另一个边界点p'使得距离等于w，则称为直径常数体。
  • 球面严格凸体（Strictly convex spherical body）：如果每个支持半球在W上支持超过一个点，则W不是严格凸的。
  • 球面常宽体的直径（Diameter of a body of constant width）：如果W是常宽体，则其直径等于其宽度。
  • 球面常直径体的宽度（Width of a body of constant diameter）：如果W是常直径体，则其宽度等于其直径。
  • 球面几何（Spherical geometry）：研究球面上点、线、面之间关系的几何学分支。
  • 凸体（Convex body）：在球面上，如果一个集合与其任意两点间的最短弧段都包含在该集合内，则称为凸体。
  • 直径（Diameter）：球面上两点间最长的弧段。
  • 宽度（Width）：由支持凸体的两个相对的半球体相交形成的月牙形区域的厚度。
  • 常宽体（Body of constant width）：所有宽度都相等的球面凸体。
  • 常直径体（Body of constant diameter）：所有直径都相等的球面凸体。
  • 球面距离（Spherical distance）：球面上两点间的最短弧段长度。
  • 球面球（Spherical ball）：以球面上一点为中心，半径为定值的球面凸体。
  • 半球体（Hemisphere）：球面球面半径为π/2的特殊情况。
  • 月牙（Lune）：两个不同的半球体相交形成的区域。
  • 极体（Polar）：一个凸体的极体是包含所有支持该凸体的半球体中心的集合。
  • 光滑点（Smooth point）：如果一个半球体恰好在一个凸体的边界点上支持该凸体，则该点称为光滑点。
  • 锐点（Acute point）：如果一个凸体的边界点被多个半球体支持，则该点称为锐点。
  • 严格凸体（Strictly convex body）：边界上不包含任何弧段的凸体。
  • 直径弦（Diametral chord）：球面凸体中直径对应的弦。
  • 对径点（Diametrically opposed points）：球面凸体中直径两端的点。
  • 球面凸体（Spherical convex body）：球面上的凸体。
  • 球面子球（Spherical (d − 1)-dimensional ball）：球面上的(d − 1)维凸体。
  • 球面子球面（Spherical subsphere）：球面上的子球面。
  • 球面距离（Spherical distance）：球面上两点间的最短弧段长度。

图论术语

  • 3-连通图（3-connected graph）：3-连通图是一种图，其中任意两个顶点之间至少有三条不相交的路径。
  • 图的嵌入（Graph embedding）：图的嵌入是指将图的顶点和边映射到一个几何空间中，使得图的结构得以保持。
  • 图的对偶（Graph duality）：图的对偶是指构建一个图的对偶图的过程，其中原图的每个面变成对偶图中的一个顶点，原图的每条边对应对偶图中的一条边。
  • 图的自对偶性（Graph self-duality）：图的自对偶性是指图与其对偶图之间存在同构映射的性质。
  • 图的直径（Graph diameter）：图的直径是指图中任意两个顶点之间的最长最短路径的长度。
  • 图的着色（Graph coloring）：图的着色是指将图的顶点或边分配到不同的颜色类别中，以满足特定的条件，如每个颜色类别中的顶点或边不相邻。
  • 图的刚性（Graph rigidity）：图的刚性是指图在保持其结构不变的条件下，能够抵抗形状变化的程度。
  • 图的同构（Graph isomorphism）：图的同构是指两个图之间存在一种顶点和边一一对应的关系，使得这两个图在结构上是相同的。
  • 自对偶图（Self-dual graph）：如果一个图与其对偶图之间存在一个图同构映射，那么这个图被称为自对偶图。
  • 强自对偶图（Strongly involutive self-dual graph）：强自对偶图是一种特殊的自对偶图，其自对偶映射满足特定的性质，如每个顶点不在其自身的对偶集中，且如果一个顶点在另一个顶点的对偶集中，则反之亦然。

点集拓扑的术语

  • 度量嵌入（Metric embedding）：度量嵌入是指将图的顶点映射到三维空间中，使得满足特定距离条件的嵌入方式。
  • 度量映射（Metric mapping）：度量映射是将图的顶点映射到三维空间中的一种方式，其中对偶顶点之间的距离为1，但不需要是单射。
  • Baire 类（Baire category）：在拓扑学中，一个集合被称为Baire类，如果它是可数个无处稠密集的并集。
  • Hausdorff 度量（Hausdorff metric）：用于度量两个紧致集合在欧几里得空间中的最大距离。
  • Hausdorff 测度（Hausdorff measure）：一种用于度量几何对象大小的测度，常用于描述凸体的边界点。
  • 超空间（Hyperspace）：指所有非空紧致凸子集的集合，赋予Hausdorff度量拓扑。
  • 仿射变换（Affine transformation）：指在欧几里得空间中保持点之间度量关系的线性变换。

著名问题

  • Blaschke-Lebesgue问题（Blaschke-Lebesgue problem）：确定在所有常宽体中，体积与宽度立方比值的最小值的问题。
  • Blaschke-Lebesgue问题（Blaschke-Lebesgue problem）：Blaschke-Lebesgue问题是在恒定宽度的凸体类中最小化体积的问题。
  • Blaschke-Lebesgue问题（Blaschke-Lebesgue problem）：在固定常宽的凸体类中最小化体积的问题。
  • 最小化问题（Minimization problem）：寻找使给定函数达到最小值的变量值的问题。
  • 变分法（Calculus of variations）：研究函数空间中泛函极值的数学分支。
  • Wirtinger不等式（Wirtinger inequality）：在给定函数空间内，函数平方的积分与其导数平方的积分之间存在的关系。

不确定的翻译方案

  • 同态不变（Homothetic invariant）：如果一个几何量在所有相似变换下保持不变，则称其为同态不变的。
  • 等周比（Isoperimetric ratio）：一个几何体的面积与包围它的最小圆的面积之比。
  • 曲面演化（Flow of the boundary）：沿着凸体的内法线向量场移动其边界，保持凸体的常宽性质。
  • C1,1函数空间（C1,1 function space）：具有连续一阶导数和利普希茨连续二阶导数的函数空间。
  • 体积比（Ratio of the volume）：常宽体的体积与其等宽球体积的比值。
  • 高斯像（Gauss image）：对于凸体K的一个面F，高斯像是单位球面上所有点的集合，这些点的外法向量包含F。
  • 照明猜想（Illumination Conjecture）：任何d维凸体可以通过2d个方向（或点光源）照亮。
  • X射线猜想（X-ray Conjecture）：任何凸体在Ed中的X射线数最多为3·2^(d−2)。
  • 弱邻接对偶凸多面体（Weakly neighbourly antipodal convex polytope）：如果多面体P的任意两个顶点都位于P的一个面上，并且任意两个顶点都位于平行的支撑超平面上，则称P为弱邻接对偶凸多面体。
  • 对偶凸多面体（Antipodal convex polytope）：如果多面体P的任意两个顶点都位于平行的支撑超平面上，则称P为对偶凸多面体。
  • 邻接性（Neighbourliness）：如果多面体P的任意两个顶点都位于P的一个面上，则称P为邻接的。
  • 直径图（Diameter graph）：一种图，其顶点对应于一个集合中的点，如果两个顶点对应的点之间的距离等于集合的直径，则这两个顶点之间存在边。
  • 直径图的色数（Chromatic number of diameter graph）：直径图的色数是指图的顶点着色时所需的最小颜色数，使得任意两个相邻顶点颜色不同。
  • 图的独立数（Independence number of a graph）：图的独立数是指图中最大独立顶点集的顶点数。
  • 希尔伯特立方（Hilbert cube）：指由[0, 1]的无限笛卡尔积构成的空间，记为Q。
  • Q-流形（Q-manifold）：指一个可分离的、可度量化的空间，它有一个开覆盖，每个成员都是希尔伯特立方的开子集的同胚像。
  • 度图（Diameter graph）：度图是一个图，其顶点是原图的顶点，但其边是原图中对应于自对偶映射关系的顶点对。
  • V´azsonyi集合（V´azsonyi set）：V´azsonyi集合是一类特殊的有限点集，其直径为1，并且每个点至少属于3个直径。
  • 平行otope（Parallelotope）：一种多面体，可以通过将一个向量加到另一个向量上得到，其所有面都是平行四边形。
  • 伪完全体（Pseudo-complete bodies）：存在一个平移，使得该平移后的单位球体被包含在该体内部，并且该体被包含在以该平移为中心的外接球体中。

撰写计划

取自“http://zh.wikiedge.org/index.php?title=WikiEdge:常宽体&oldid=2577”